Геоме́трия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. В практических задачах геометрия позволяет предсказывать геометрические размеры тела, зная другие геометрические размеры этого тела с помощью известных геометрических законов.
Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.
Вычислительная геометрия — раздел информатики, в котором рассматриваются алгоритмы для решения геометрических задач.
О́бщее положе́ние — термин, значение которого зависит от контекста и который используется обычно в следующих словосочетаниях:
- «объекты, находящиеся в общем положении, имеют свойство S»,
- «S есть свойство общего положения»,
- «приведение объектов в общее положение»,
Комбинаторная или дискретная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются комбинаторные свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные множества или структуры базовых однотипных геометрических объектов и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно»-комбинаторных вопросов — замощения, упаковка кругов на плоскости, формула Пика — до вопросов общих и глубоких, таких как гипотеза Борсука, проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.
Конфигурация Дезарга — конфигурация десяти точек и десяти прямых, в которой каждая прямая содержит три точки конфигурации, и через любую точку проходят три прямых. Конфигурация названа в честь Жерара Дезарга и она тесно связана с теоремой Дезарга, которая доказывает существование таких конфигураций.
Конфигурация Кремоны — Ричмонда — конфигурация из 15 прямых и 15 точек, по три точки, лежащих на каждой прямой, и через каждую точку проходят 3 прямых, при этом конфигурация не содержит треугольников. Конфигурацию изучали Кремона и Ричмонд. Конфигурация является обобщённым четырёхугольником с параметрами (2,2). Граф Леви конфигурации — это граф Татта — Коксетера.
В проективной геометрии конфигурация на плоскости состоит из конечного множества точек и конечной конфигурации прямых, таких, что каждая точка инцидентна одному и тому же числу прямых и каждая прямая инцидентна одному и тому же числу точек.
Конфигурация Гессе — конфигурация 9 точек и 12 прямых с тремя точками на каждой прямой и с четырьмя прямыми, проходящих через каждую точку. Её рассматривал Колин Маклорен и изучал Отто Гессе (1844), Конфигурация реализуема в комплексной проективной плоскости как множество точек перегиба эллиптической кривой, но не существует реализации на евклидовой плоскости.
Конфигура́ция прямы́х — это разбиение плоскости, образованное набором прямых. Конфигурации прямых изучается в комбинаторной геометрии, а в вычислительной геометрии строятся алгоритмы для эффективного построения конфигураций.
Зада́ча Кобо́на о треуго́льниках — нерешённая задача комбинаторной геометрии, сформулированная Кодзабуро Фудзмурой (яп. 藤村幸三郎 фудзимура ко:дзабуро:), известным также как Кобон. В задаче спрашивается, каково максимальное число N(k) неперекрывающихся треугольников, стороны которых принадлежат конфигурации k прямых. Вариант задачи рассматривается в проективной плоскости, а не в евклидовой плоскости, и в этом случае требуется, чтобы треугольники не пересекались другими прямыми конфигурации.
Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности, например принадлежность точки прямой.
Теорема Семереди — Троттера — результат комбинаторной геометрии. Теорема утверждает, что если даны n точек и m прямых на плоскости, число инциденций равно
Конфигурация Сильвестра — Галлаи состоит из конечного подмножества точек проективного пространства со свойством, что прямая через любые две точки подмножества проходит также по меньшей мере ещё через одну точку подмножества.
Бу́левы опера́ции над многоуго́льниками и́ли фигу́рами — это набор булевых операций с одним или несколькими наборами многоугольников в компьютерной графике. Эти наборы операций широко используются в компьютерной графике, САПР и в проектировании электронных схем.
Геометрия Галуа — это раздел конечной геометрии, рассматривающий алгебраическую и аналитическую геометрию над конечными полями. В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем.
В комбинаторике последовательность Дэвенпорта — Шинцеля является последовательностью символов, в которой любые два символа могут появиться в чередующемся порядке ограниченное число раз. Максимальная возможная длина последовательности Дэвенпорта — Шинцеля ограничена числом символов, умноженным на небольшой постоянный множитель, который зависит от числа разрешённых чередований. Последовательности Дэвенпорта — Шинцеля были впервые определены в 1965 году Гарольдом Дэвенпортом и Анджеем Шинцелем для анализа линейных дифференциальных уравнений. Следуя Аталла, эти последовательности и границы их длин стали стандартным средством в комбинаторной геометрии и в анализе геометрических алгоритмов.
Теорема о бутерброде утверждает, что если дано n измеримых «объектов» в n-мерном евклидовом пространстве, их можно разделить пополам (согласно их мере, то есть объёме) с помощью одной (n − 1)-мерной гиперплоскости.
Дифференциа́льная геоме́трия многообра́зий фи́гур — раздел дифференциальной геометрии, который изучает многообразия, образующие элементы которых не точки исходного пространства, а различные фигуры этого пространства.
