Коприсоединённое представление

Коприсоединённое представление ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}}$ группы Ли ${\displaystyle G}$ — это представление, сопряжённое^[англ.] к присоединённому. Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — алгебра Ли группы ${\displaystyle G}$, соответствующее действие ${\displaystyle G}$ на пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, сопряжённом к ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на ${\displaystyle G}$.

Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли ${\displaystyle G}$ играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В методе орбит^[англ.] Кириллова представления ${\displaystyle G}$ строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости ${\displaystyle G}$, которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа Ли и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — её алгебра Ли, ${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ — присоединённое представление ${\displaystyle G}$. Тогда коприсоединённое представление ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})}$ определяется как ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}}$. Более точно,

${\displaystyle \langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle ,\qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},}$

где ${\displaystyle \langle f,X\rangle }$ — значение линейного функционала ${\displaystyle f}$ на векторе ${\displaystyle X}$.

Пусть ${\displaystyle \mathrm {ad} ^{*}}$ — представление алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли ${\displaystyle G}$. Тогда для ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ справедливо равенство ${\displaystyle \mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}}$, где ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ — присоединённое представление алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}}$:

${\displaystyle \langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},}$

где ${\displaystyle \exp }$ — экспоненциальное отображение^[англ.] из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ в ${\displaystyle G}$.

Пусть ${\displaystyle \varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})}$ — дифференцируемая функция на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$. Рассмотрим изменение функции ${\displaystyle \varphi }$ при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы ${\displaystyle e^{tX}\subset G}$ в направлении вектора ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ и продифференцируем его в единице группы:

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .}$

(1)

Здесь ${\displaystyle \nabla _{f}\varphi }$ — градиент функции ${\displaystyle \varphi }$, который естественным образом отождествляется с элементом алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Выберем некоторый базис ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и пусть ${\displaystyle \{e^{i}\}}$ — взаимный ему базис в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, то есть ${\displaystyle \langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i}}$, ${\displaystyle i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g}}}$, где ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ — символ Кронекера. Выберем в качестве ${\displaystyle X}$ базисный вектор ${\displaystyle e_{i}}$. Тогда равенство (1) приобретает вид

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j}}}}$

(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей

${\displaystyle {\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}}$,

где ${\displaystyle C_{ij}^{k}}$ — структурные константы^[англ.] алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Инварианты^[англ.] ${\displaystyle K}$ коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}=0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.}$

(2)

Определим антисимметричную билинейную форму ${\displaystyle B_{f}(X,\,Y)}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ посредством равенства

${\displaystyle B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}}}$.

Количество независимых уравнений в системе (2) равно ${\displaystyle \mathrm {rank} \,B_{f}}$. Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы ${\displaystyle B_{f}}$ максимален) называются функциями Казимира алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и равно

${\displaystyle \mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\mathrm {rank} \,B_{f}}$.

Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.

Помимо функций Казимира ${\displaystyle K_{\mu }}$, ${\displaystyle \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}}$, определённых в точках общего положения пространства ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы ${\displaystyle B_{f}}$ ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии ${\displaystyle M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}}$ ранг формы ${\displaystyle B_{f}}$ равен ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s}$, ${\displaystyle s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2}$, то непостоянные решения ${\displaystyle K^{(s)}}$ системы (2), ограниченной на подмногообразие ${\displaystyle M_{s}}$, называются функциями Казимира типа ${\displaystyle s}$. Совокупность независимых функций ${\displaystyle \{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2)}\}}$ образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (2) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора ${\displaystyle f}$.

Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита, ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, проходящая через точку ${\displaystyle f}$ в сопряжённом пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ к алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, может быть определена как орбита ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}}$, или, эквивалентно, как однородное пространство ${\displaystyle G/\mathrm {Stab} (f)}$, где ${\displaystyle \mathrm {Stab} (f)\subset G}$ — стабилизатор точки ${\displaystyle f}$ относительно коприсоединённого действия группы ${\displaystyle G}$.

Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}}$, и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями

${\displaystyle K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}.}$

Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности ${\displaystyle \dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s}$, составляющие особые инвариантные подмногообразия ${\displaystyle M_{s}}$, определяются уравнениями

${\displaystyle K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},}$

где ${\displaystyle r_{s}}$ — количество независимых функций Казимира типа ${\displaystyle s}$. Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных ${\displaystyle \kappa _{\mu }^{(s)}}$ соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.

Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ существует замкнутая невырожденная ${\displaystyle G}$-инвариантная 2-форма ${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}}$, которая строится следующим образом. Пусть ${\displaystyle B_{f}}$ — определённая выше антисимметричная билинейная форма на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Тогда можно определить ${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )}$ посредством равенства

${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{f}(X,\,Y)}$.

Существование, невырожденность и ${\displaystyle G}$-инвариантность ${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}}$ вытекают из следующих фактов:

• Касательное пространство ${\displaystyle T_{f}({\mathcal {O}})}$ может быть отождествлено с ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\mathrm {stab} (f)}$, где ${\displaystyle \mathrm {stab} (f)}$ — алгебра Ли группы ${\displaystyle \mathrm {Stab} (f)}$.
• Ядро отображения ${\displaystyle B_{f}}$ есть в точности ${\displaystyle \mathrm {stab} (f)}$.
• ${\displaystyle B_{f}}$ инвариантно относительно действия ${\displaystyle \mathrm {Stab} (f)}$.

Кроме того, форма ${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}}$ замкнута. Каноническую 2-форму ${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}}$ называют формой Кириллова, Кириллова — Костанта^[англ.] или Кириллова — Костанта — Сурио.

К-орбита ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу ${\displaystyle \sigma }$ в ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ равен целому числу:

${\displaystyle \int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z}$.

Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.

Форма ${\displaystyle B_{f}}$ снабжает пространство ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ структурой Пуассонова многообразия^[англ.] со скобкой Ли — Пуассона

${\displaystyle \{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{i}}}{\frac {\partial \psi (f)}{\partial f_{j}}},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g}}^{*})}$,

являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$. Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина^[1], невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона ${\displaystyle \{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O}}}}$, порождаемой формой Кириллова:

${\displaystyle \{\varphi ,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O}}}$.

Здесь ${\displaystyle \mathrm {sgrad} \,\varphi }$ — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом ${\displaystyle \varphi }$.

• Коприсоединённое действие на К-орбите ${\displaystyle ({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})}$ являетсяa гамильтоновым ${\displaystyle G}$-действием^[англ.] с отображением момента^[англ.] ${\displaystyle {\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$.
• Если для орбиты ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ существует поляризация, то вложение ${\displaystyle {\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$ может быть реализовано функциями ${\displaystyle f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}}$, линейными по ${\displaystyle 1/2\,\dim {\mathcal {O}}}$ переменным ${\displaystyle p}$, где ${\displaystyle (q,\,p)}$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.^[2][3]

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {e}}(2)}$ группы ${\displaystyle E(2)}$ движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями

${\displaystyle [e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=-e_{1}}$

(коммутирующие элементы ${\displaystyle e_{1}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент ${\displaystyle e_{3}}$ — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа ${\displaystyle E(2)}$ трёхмерна). Соответственно, матрица формы ${\displaystyle B_{f}}$ имеет вид

${\displaystyle (B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}}$

Её ранг равен двум всюду, кроме прямой ${\displaystyle f_{1}=f_{2}=0}$, представляющей собой особое инвариантное подмногообразие ${\displaystyle M_{1}}$ коприсоединённого действия группы ${\displaystyle E(2)}$ на ${\displaystyle {\mathfrak {e}}(2)^{*}}$, поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия

${\displaystyle {\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}=-f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{1}}}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2}}}}$

выписываются два независимых уравнения

${\displaystyle f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{3}}}=-f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{1}}}+f_{1}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{2}}}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\neq 0}$,

определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня

${\displaystyle K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0}$,

каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью ${\displaystyle M_{1}}$. Особое многообразие уровня (${\displaystyle j=0}$) совпадает с ${\displaystyle M_{1}}$ и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит ${\displaystyle f_{1}=f_{2}=0}$, ${\displaystyle f_{3}=\kappa ^{(1)}}$. Форма Кириллова

${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}}$

приводится к каноническому виду ${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q}$ в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту ${\displaystyle j=const}$:

${\displaystyle f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p}$.

Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по ${\displaystyle p}$. Возможность линейного по «импульсу» ${\displaystyle q}$-${\displaystyle p}$-перехода гарантируется наличием в ${\displaystyle {\mathfrak {e}}(2)}$ двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$, являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.

${\displaystyle SO(3)}$ — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

${\displaystyle [e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=e_{1}}$

(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы ${\displaystyle B_{f}}$:

${\displaystyle (B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0\end{pmatrix}}}$.

Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке ${\displaystyle f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\backslash \{0\}}$ линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы

${\displaystyle K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0}$,

с центром в начале координат. Особое подмногообразие ${\displaystyle M_{1}}$ состоит из одной точки ${\displaystyle \{0\}}$, так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.

Поскольку в алгебре ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)^{*}}$ не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим ${\displaystyle p}$-переменным для формы Кириллова

${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}}$.

Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)^{\mathbb {C} }}$, комплексификации алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$. Например, для ковектора ${\displaystyle j\,e^{3}}$ таковой является подалгебра ${\displaystyle \{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}}$, поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:

${\displaystyle f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac {1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p\in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j}$.

Легко проверить, что этим преобразованием форма ${\displaystyle \omega _{\mathcal {O}}}$ действительно приводится к каноническому виду.

• Присоединённое представление
• Метод орбит Кириллова^[англ.]
• Теорема Бореля — Вейля — Ботта^[англ.]
• Формула характера Кириллова^[англ.]

• А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
• Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Graduate Studies in Mathematics^[англ.], Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300, ISBN 978-0821835302

• Coadjoint orbit (англ.) на сайте PlanetMath.