Копула

Ко́пула (лат. copula «соединение, связка») — многомерная функция распределения, определённая на ${\displaystyle n}$-мерном единичном кубе ${\displaystyle [0,\;1]^{n}}$, такая, что каждое её маргинальное распределение равномерно на интервале ${\displaystyle [0,\;1]}$.

Теорема Склара

Теорема Склара заключается в следующем: для произвольной двумерной функции распределения ${\displaystyle H(x,\;y)}$ с одномерными маргинальными функциями распределения ${\displaystyle F(x)=H(x,\;\infty )}$ и ${\displaystyle G(y)=H(\infty ,\;y)}$ существует копула, такая что

${\displaystyle H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),}$

где мы отождествляем распределение ${\displaystyle C}$ с его функцией распределения. Копула содержит всю информацию о природе зависимости между двумя случайными величинами, которой нет в маргинальных распределениях, но не содержит информации о маргинальных распределениях. В результате информация о маргиналах и информация о зависимости между ними отделяются копулой друг от друга.

Некоторые свойства копулы имеют вид:

${\displaystyle C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,}$

${\displaystyle C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.}$

Минимальная копула — нижняя граница для всех копул, только в двумерном случае соответствует строго отрицательной корреляции между случайными величинами:

${\displaystyle W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).}$

Максимальная копула — верхняя граница для всех копул, соответствует строго положительной корреляции между случайными величинами:

${\displaystyle M(x,\;y)=\min(x,\;y).}$

Одна частная простая форма копулы:

${\displaystyle C(x,\;y)=\Psi ^{-1}(\Psi (x)+\Psi (y)),}$

где ${\displaystyle \psi }$ называется функцией-генератором. Такие копулы называются архимедовыми. Любая функция-генератор, которая удовлетворяет приведённым ниже свойствам, служит основой для правильной копулы:

${\displaystyle \Psi (1)=0;\quad \lim _{x\to 0}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x)>0.}$

Копула-произведение, также называемая независимой копулой, — это копула, которая не имеет зависимостей между переменными, её функция плотности всегда равна единице.

${\displaystyle \Psi (x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.}$

Копула Клейтона (Clayton):

${\displaystyle \Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^{\theta }+y^{\theta }-1)^{1/\theta }.}$

Для ${\displaystyle \theta =0}$ в копуле Клейтона, случайные величины статистически независимы.

Подход, основанный на функциях-генераторах, может быть распространён для создания многомерных копул при помощи простого добавления переменных.

При анализе данных с неизвестным распределением, можно построить «эмпирическую копулу» путём такой свёртки, чтобы маргинальные распределения получились равномерными. Математически это можно записать так:

${\displaystyle C_{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot }$ Число пар ${\displaystyle (x,y)}$ таких что ${\displaystyle x\leq x_{(i)}{\text{ и }}y\leq y_{(j)}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$

где x_(i) —представляет i-ая порядковая статистика x.

Гауссовы копулы широко применяются в финансовой сфере. Для n-мерного случая копула представима в виде^[1][2]:

${\displaystyle C\left[G_{1}(u_{1}),...,G_{n}(u_{n})\right]=\Phi _{n}\left[\Phi ^{-1}(G_{1}(u_{1})),...,\Phi ^{-1}(G_{n}(u_{n}));\rho _{\Phi }\right]}$,

где:

• ${\displaystyle G_{i}(u_{i})}$ — частные распределения;
• ${\displaystyle \Phi _{n}}$ — n-мерное совместное нормальное распределение с положительно полуопределённой корреляционной матрицей ${\displaystyle \rho _{\Phi }}$ размерностью ${\displaystyle n\times n}$;
• ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ — обратная функция гауссовского распределения.

Моделирование зависимостей с помощью копул широко используется применительно к оцениванию финансовых рисков и в страховом анализе — например, для ценообразования обеспеченных долговых обязательств (CDOs)^[3]. Кроме того, копулы также применялись к другим страховым задачам как гибкий инструмент.

• Независимость (теория вероятностей)

• Благовещенский Ю. Н. Основные элементы теории копул // Прикладная эконометрика, № 2 (26), 2012. С. 113—130.
• Clayton David G. A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence. — Biometrika. — 1978. — 65. — pp. 141—151. JSTOR (subscription)
• Frees, E. W., Valdez, E. A. Understanding Relationships Using Copulas. — North American Actuarial Journal. — 1998. — 2. — pp. 1-25.
• Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. — Springer, 1999. — 236 p. — ISBN 0-387-98623-5.
• Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-Tailed and Skewed Asset Return Distributions. — Wiley, 2005. — 369 p. — ISBN 0-471-71886-6.
• Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. — Publications de l’Institut de Statistique de L’Université de Paris. — 1959. — 8. — pp. 229—231.

• Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Примеры генерации копул в Matlab