Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий графы, одна из ветвей топологии. В самом общем смысле граф — это множество точек, которые соединяются множеством линий. Теория графов включена в учебные программы для начинающих математиков, поскольку:
- как и геометрия, обладает наглядностью;
- как и теория чисел, проста в объяснении и имеет сложные нерешённые задачи;
- не имеет громоздкого математического аппарата ;
- имеет выраженный прикладной характер.
Дерево — связный ациклический граф. Связность означает наличие маршрута между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов. Отсюда, в частности, следует, что число рёбер в дереве на единицу меньше числа вершин, а между любыми парами вершин имеется один и только один путь.
Дерево — одна из наиболее широко распространённых структур данных в информатике, эмулирующая древовидную структуру в виде набора связанных узлов. Является связным графом, не содержащим циклы. Большинство источников также добавляет условие на то, что рёбра графа не должны быть ориентированными. В дополнение к этим трём ограничениям, в некоторых источниках указывается, что рёбра графа не должны быть взвешенными.
Зада́ча о незави́симом мно́жестве относится к классу NP-полных задач в области теории графов. Эквивалентна задаче о клике.
В теории графов граф называется хордальным, если каждый из его циклов, имеющих четыре ребра и более, имеет хорду.
Мост — ребро в теории графов, удаление которого увеличивает число компонент связности. Такие рёбра также известны как разрезающие рёбра, разрезающие дуги или перешейки. Эквивалентное определение — ребро является мостом в том и только в том случае, если оно не содержится ни в одном цикле.
Дистанционно-транзитивный граф — граф, в котором любая упорядоченная пара вершин переводится в любую другую упорядоченную пару вершин с тем же расстоянием между вершинами одним из автоморфизмов графа.
В теории графов кограф, или дополнительно сводимый граф, или граф, свободный от P4, — это граф, который можно получить из графа с единственной вершиной K1 путём операций дополнения и объединения графов. Таким образом, семейство кографов — это наименьший класс графов, содержащий K1 и замкнутый относительно дополнения и объединения.
Спектральная теория графов — направление в теории графов, изучающее свойства графов, характеристических многочленов, собственных векторов и собственных значений матриц, связанных с графом, таких, как его матрица смежности или матрица Кирхгофа.
Древесность неориентированного графа — это минимальное число лесов, на которые можно разложить рёбра. Эквивалентно это является минимальным числом остовных деревьев, которые необходимы для покрытия рёбер графа.
В теории графов древесная декомпозиция — это отображение графа в дерево, которое может быть использовано для определения древесной ширины графа и ускорения решения определённых вычислительных задач на графах.
Панциклический граф — ориентированный или неориентированный граф, который содержит циклы всех возможных длин от трёх до числа вершин графа. Панциклические графы являются обобщением гамильтоновых графов, графов, которые имеют циклы максимальной возможной длины.
В теории графов ухо неориентированного графа G — это путь P, у которого две конечные точки могут совпадать, но в противном случае не разрешается повторение вершин или рёбер, так что любая внутренняя точка пути P имеет в пути степень два. Ушная декомпозиция неориентированного графа G — это разбиение множества его рёбер на последовательность ушей, так что конечные точки каждого уха принадлежат ранее выделенным ушам в последовательности, при этом внутренние вершины каждого уха не принадлежат предыдущим ушам. Кроме того, в большинстве случаев первое ухо в последовательности должно быть циклом. Открытая или правильная ушная декомпозиция — это ушная декомпозиция, в которой две конечные точки каждого уха, кроме первого, отличаются.
Некорневое двоичное дерево — это некорневое дерево, в котором каждая вершина имеет либо одного, либо трёх соседей.
Тривиально совершенный граф — это граф со свойством, что в каждом его порождённом подграфе размер максимального независимого множества равен числу максимальных клик. Тривиально совершенные графы первым изучал Волк, но название дал Голумбик. Голумбик писал, что «это название было выбрано ввиду тривиальности доказательства, что такие графы являются совершенными.» Тривиально совершенные графы известны также как графы сравнимости деревьев, древовидные графы сравнимости и квазипороговые графы.
Неориентированный граф G называется строго хордальным, если он является хордальным и любой цикл чётной длины в G имеет нечётную хорду, то есть ребро, которое соединяет две вершины цикла на нечётном расстоянии (>1) друг от друга.
Модульное разложение — это разложение графа на подмножества вершин, называемых модулями. Модуль является обобщением компоненты связности графа. В отличие от компонент связности, однако, один модуль может быть собственным подмножеством другого. Модули, поэтому, ведут к рекурсивной (иерархической) декомпозиции графа, а не просто к разбиениям.
Алгоритм Эдмондса или алгоритм Чу — Лью/Эдмондса — это алгоритм поиска остовного ориентированного корневого дерева минимального веса для заданного корня . Задача является ориентированным аналогом задачи о минимальном остовном дереве.
