Корни из единицы

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$, где ${\displaystyle n\geqslant 1}$. Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика ${\displaystyle p}$ которого не является делителем степени ${\displaystyle n}$ многочлена^[1].

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье^[2], теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

${\displaystyle 1=\cos 0+i\sin 0.}$

Тогда по формуле Муавра получим выражение^[3] для ${\displaystyle k}$-го корня n-й степени из единицы ${\displaystyle u_{k}}$:

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,\dots ,n-1.}$

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

${\displaystyle u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots ,n-1.}$

Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно ${\displaystyle n}$, и все они различны^[3].

Кубические корни из единицы:

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Корни 4-й степени из единицы:

${\displaystyle \left\{1,+i,-1,-i\right\}.}$

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

${\displaystyle {\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \}}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.}$

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два (${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{5}}$):

${\displaystyle \left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица ${\displaystyle 1+0i.}$ Вещественных корней может быть либо два, если ${\displaystyle n}$ чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если ${\displaystyle n}$ нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если ${\displaystyle u_{k}}$ — корень из единицы, то сопряжённое к нему число ${\displaystyle {\overline {u_{k}}}}$ — тоже корень из единицы^[3].

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и ${\displaystyle n>1.}$ Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней ${\displaystyle n}$-й степени из единицы равна ${\displaystyle 2n}$^[4].

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка ${\displaystyle n}$. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица^[3].

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент ${\displaystyle u_{k}}$, индекс ${\displaystyle k}$ которого взаимно прост с ${\displaystyle n}$.

Следствия^[3]:

• элемент ${\displaystyle u_{1}}$ всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
• если ${\displaystyle n}$ — простое число, то степени любого корня, кроме ${\displaystyle \pm 1}$, охватывают всю группу (то есть все корни, кроме ${\displaystyle \pm 1}$, являются первообразными);
• число первообразных корней равно ${\displaystyle \varphi (n)}$, где ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера.

Если ${\displaystyle n>1}$, то для любого первообразного корня из единицы ${\displaystyle u}$ имеют место формулы

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.}$

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (u)}$, порождённое присоединением к полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ первообразного корня n-й степени из единицы ${\displaystyle u}$. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: ${\displaystyle K_{3}}$ состоит из комплексных чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}\,i}$, где ${\displaystyle a,b}$ — рациональные числа.

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля ${\displaystyle K}$ как решения уравнения ${\displaystyle x^{n}=1}$, где ${\displaystyle 1}$ — единица поля ${\displaystyle K}$. Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля ${\displaystyle K}$. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля ${\displaystyle K}$ содержит только корни из единицы и является циклической^[3].

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

${\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.}$

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде ${\displaystyle 2^{2^{r}}+1}$. Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год)^[5].

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа^[6].

• Круговой многочлен
• Первообразный корень из единицы

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 188 и далее. — 299 с.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — Стб. 15.
• Milne, James S. Algebraic Number Theory  (неопр.). Course Notes (1998). Архивировано 2 апреля 2012 года.

• Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.