Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.
Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).
Взаимодействие моментов импульса
См. также статью Оператор момента импульса.
Рассмотрим два момента импульса и , которые обладают квантовыми числами и (-компонента) и и . При этом и принимают значения и соответственно. Моменты импульса коммутируют , что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): или . В базисе момент принимает простой диагональный вид, аналогично в базисе .
При взаимодействии, оба момента импульса и складываются в общий момент , который обладает квантовыми числами и , принимающими следующие значения
- и (с шагом 1).
Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса и , то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:
Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.
Базис собственных векторов суммарного момента импульса
Собственные векторы момента однозначно определяются квантовыми числами , , и . В базисе этих векторов суммарный момент принимает простую диагональную форму. А именно
Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов в базис собственных векторов .
Здесь являются коэффициентами Клебша — Гордана.
Свойства коэффициентов Клебша — Гордана
- Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий и :
- Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:
- Коэффициент Клебша — Гордана при задают положительным:
- Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при :
- Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
- Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана
Собственное состояние с и непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)
Применением оператора уменьшения можно получить состояния от до , или же все состояния с и .
Состояние можно получить из условия ортогональности к состоянию и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при является положительным.
Применением оператора уменьшения к можно опять получить все состояния с . Итеративно можно применять эту процедуру для всех до .
На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:
где
Если — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям , а если — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям .
Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)
Рассмотрим группу и её представление. Выберем базисные вектора и неприводимых представлений и этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность операторов , если в результате преобразований , образующих группу , компоненты тензора преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:
Векторы , где образуют базис представления . Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений , на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы .
Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений в линейную комбинацию прямого произведения представлений .
где — базисные векторы представлений , а — базисные векторы представления : .
- Из определения коэффициентов Клебша — Гордана следует: .
- Коэффициенты Клебша — Гордана образуют унитарную матрицу.
См. также
Ссылки
Таблица с примерами для некоторых значений и (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)
Литература
- Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — Наука, 1976. — 664 с.