Коэффициент фазовой синхронизации

Коэффициент фазовой синхронизации (средняя фазовая когерентность) — численный показатель, количественно характеризующий синхронизованность фаз двух осцилляторов и отражающий стабильность разности этих фаз. При точном совпадении фаз коэффициент равен единице, при отсутствии синхронизации — нулю. Понятие коэффициента фазовой синхронизации широко используется в теории динамических систем и теории хаоса.

Существует несколько способов определения коэффициента фазовой синхронизации^[1]. Наиболее распространённым является следующий:

${\displaystyle \rho =\left|\left\langle {\mathrm {e} }^{j(\phi _{1}-\phi _{2})}\right\rangle \right|,}$

где угловые скобки означают процедуру усреднения, ${\displaystyle \phi _{1}}$, ${\displaystyle \phi _{2}}$ — фазы колебаний осцилляторов.

На практике приходится иметь дело с временными рядами. В этом случае производится оценка коэффициента фазовой синхронизации. Чаще всего при этом пользуются следующей формулой

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}{\mathrm {e} }^{j(\phi _{1}(t_{n})-\phi _{2}(t_{n}))}\right|}$

где ${\displaystyle \phi _{1}(t_{n})}$, ${\displaystyle \phi _{2}(t_{n})}$ — значения фазы в некоторые моменты времени. Если процесс колебаний эргодичен, то для достаточно большого числа N оценка ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ близка к истинному значению ${\displaystyle \rho }$. Однако, в практически интересных случаях N зачастую не превышает одного-двух десятков, что может привести к получению абсолютно неверного результата, в частности к значению ${\displaystyle {\hat {\rho }}=1}$ даже для несвязанных осцилляторов. Проблема исследования статистических свойств величины ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ является одной из актуальных проблем современной теории динамических систем^[2].

• Синхронизация мод