Кривая Евдокса

Кривая Евдокса (др.-греч. καμπύλη [γραμμή] — кривая [линия]) — это кривая с уравнением в декартовых координатах

${\displaystyle x^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2}),}$

из которого исключается решение x = y = 0.

В полярной системе координат кривая Евдокса имеет уравнение

${\displaystyle r=a\sec ^{2}\theta .}$

Эквивалентно, кривая имеет параметрическое представление

${\displaystyle x=a\sec(t),\quad y=a\operatorname {tg} (t)\sec(t).}$

Эту кривую четвёртой степени изучал греческий астроном и математик Евдокс Книдский (408—347 годы до нашей эры) в связи с классической задачей удвоения куба.

Кривая Евдокса симметрична как относительно оси x, так и оси y. Она пересекает ось x в точках (±a, 0). Кривая имеет точки перегиба

${\displaystyle \left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

(четыре точки перегиба, по одной в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотически приближается к ${\displaystyle x^{2}/a-a/2}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$, и, фактически, можно записать

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},}$

где

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

является ${\displaystyle n}$-м числом Каталана.

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Kampyle of Eudoxus" (англ.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
• Weisstein, Eric W. Kampyle of Eudoxus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.