Круговое поле

Перейти к навигации Перейти к поиску

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ , порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$ . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_{3}$ состоит из комплексных чисел вида $a+b{\sqrt {3}}\ i$ , где $a,b$ — рациональные числа.

Свойства

Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
- Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена $x^{n}-1$ .
$K_{4n+2}=K_{2n+1}$ , поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 $(n\not \equiv 2{\pmod {4}})$ . При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
Поле $K_{n}$ является абелевым расширением поля ${\mathbb {Q} }$ с группой Галуа $G(K_{n}/{\mathbb {Q} })\simeq (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},$

где

(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}

— мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения

[K_{n}:{\mathbb {Q} }]

равна φ(n) (функция Эйлера).

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

См. также

Круговой многочлен

Литература

Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.

Ссылки

Milne, James S. Algebraic Number Theory (неопр.). Course Notes (1998). Архивировано 2 апреля 2012 года.

Похожие исследовательские статьи

Алгебраи́ческое число́ над полем $\text{[math]}$ — элемент алгебраического замыкания поля $\text{[math]}$ , то есть корень многочлена с коэффициентами из $\text{[math]}$ .

Ко́мпле́ксные чи́сла — числа вида $\text{[math]}$ где $\text{[math]}$ — вещественные числа, $\text{[math]}$ — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: $\text{[math]}$ Множество комплексных чисел обычно обозначается символом $\text{[math]}$ Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид $\text{[math]}$ Главное свойство $\text{[math]}$ — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен $\text{[math]}$ -й степени имеет $\text{[math]}$ корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

По́ле в общей алгебре — множество, для элементов которого определены операции сложения, взятия противоположного значения, умножения и деления, причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Элементы поля не обязательно являются числами, поэтому, несмотря на то, что названия операций поля взяты из арифметики, определения операций могут быть далеки от арифметических.

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Целыми алгебраическими числами называются комплексные корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Теория групп — раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. Группа является центральным понятием в общей алгебре, так как многие важные алгебраические структуры, такие как кольца, поля, векторные пространства, являются группами с расширенным набором операций и аксиом. Группы возникают во всех областях математики, и методы теории групп оказывают сильное влияние на многие разделы алгебры. В процессе развития теории групп построен мощный инструментарий, во многом определивший специфику общей алгебры в целом, сформирован собственный глоссарий, элементы которого активно заимствуются смежными разделами математики и приложениями. Наиболее развитые ветви теории групп — линейные алгебраические группы и группы Ли — стали самостоятельными областями математики.

<span class="mw-page-title-main">Конечная группа</span> алгебраическая структура - группа, содержащая конечное число элементов

Конечная группа в общей алгебре — группа, содержащая конечное число элементов. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1. Порядок группы $\text{[math]}$ принято обозначать $\text{[math]}$

Расшире́ние по́ля $\text{[math]}$ — поле $\text{[math]}$ , содержащее данное поле $\text{[math]}$ в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

<span class="mw-page-title-main">Корни из единицы</span> комплексное число, натуральная степень которого равна единице

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена $\text{[math]}$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика $\text{[math]}$ которого не является делителем степени $\text{[math]}$ многочлена.

Гру́ппа Галуа́ — группа, ассоциированная с расширением поля. Играет важную роль при исследовании расширений полей, в частности, в теории Галуа. Это понятие ввёл в математику Эварист Галуа в 1832 году.

Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел, согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел $\text{[math]}$ , или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над $\text{[math]}$ является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.

В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840 года в его работе, связанной с теоремой Ферма.

Алгебраическое числовое поле, поле алгебраических чисел — это конечное расширение поля рациональных чисел $\text{[math]}$ . Таким образом, числовое поле — это поле, содержащее $\text{[math]}$ и являющееся конечномерным векторным пространством над ним. При этом некоторые авторы называют числовым полем любое подполе комплексных чисел — например, М. М. Постников в «Теории Галуа».

Башня полей — последовательность из расширений для некоторого поля $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , может быть конечной или бесконечной. Часто записывается вертикально:

\text{[math]}

Дзета-функция Дедекинда $\text{[math]}$ — это дзета-функция алгебраического числового поля $\text{[math]}$ , являющаяся обобщением дзета-функции Римана.

Квадрати́чная иррациона́льность — иррациональное число, которое является вещественным корнем некоторого квадратного уравнения $\text{[math]}$ с рациональными коэффициентами $\text{[math]}$ . В части источников под квадратичными иррациональностями понимаются в общем случае комплексные корни указанных уравнений.

Обратная задача Галуа — открытая проблема теории Галуа, поставленная в начале XIX века: является ли любая конечная группа группой Галуа некоторого расширения Галуа рациональных чисел $\text{[math]}$ ..

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.