Круг Мора

Круг Мора — графическое представление нормальных напряжений и касательных напряжений, разработанное профессором Отто Мором (1835—1918).^[1].

Круг Мора также можно использовать для нахождения главных плоскостей и главных напряжений в графическом представлении, и это один из самых простых способов сделать это.^[2]

Первым человеком, создавшим графическое представление напряжений для продольных и поперечных напряжений изгибаемой горизонтальной балки был Карл Кульман. Вклад Мора заключается в использовании этого подхода для плоского и объёмного напряжённых состояний и определение критерия прочности, основанного на круговой диаграмме напряжений^[3].

Внутренние усилия возникают между частицами сплошного деформируемого тела в качестве реакции на прикладываемые внешние силы: поверхностные и объёмные. Эта реакция согласуется со вторым законом Ньютона, приложенным к частицам материальных объектов. Величина интенсивности этих внутренних сил называется механическим напряжением. Так как тело считается сплошным, эти внутренние силы распределяются непрерывно по всему объёму рассматриваемого объекта.

В инженерном деле распределение напряжений в объекте определяется через анализ его напряжённо-деформируемого состояния для получения значений напряжений в каждой материальной точке объекта. Согласно Коши напряжение в любой точке сплошного материального тела полностью определяется девятью компонентами напряжений ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ тензора напряжений, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}$

После того как распределение напряжений было определено относительно координатной системы ${\displaystyle (x,y)}$, может быть необходимо определить компоненты тензора напряжений в частной материальной точке ${\displaystyle P}$ относительно повернутой координатной системы ${\displaystyle (x',y')}$, то есть напряжения, действующие на площадке с различной ориентацией, проходящей через интересующую нас точку. Например, может быть необходимо найти максимальное нормальное напряжение или максимальное касательное напряжение и направление, в котором они действуют. Для решения этой задачи необходимо совершить преобразование тензора напряжений. Графическим представлением этого преобразования тензора напряжений является круг Мора.

Для получения уравнения круга Мора для плоского напряжённого состояния рассматривается двумерное бесконечно малое материальное тело, находящееся вокруг материальной точки ${\displaystyle P}$ с единичной площадкой в направлении, параллельном плоскости ${\displaystyle y}$-${\displaystyle z}$, то есть перпендикулярно к зрителю.

Исходя из условий равновесия бесконечно малого материального тела величины нормального напряжения ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$ и касательного напряжения ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ равны:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$

Эти два уравнения являются параметрическим представлением круга Мора.

Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы, образованной путём сечения элементарного параллелепипеда наклонной площадкой. Нормальное напряжение ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$ действует на площадке площадью ${\displaystyle dA}$. Из равенства проекций сил на ось ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$ (ось ${\displaystyle x'}$) получаем:

${\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _{y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \theta \cos \theta \\\end{aligned}}}$

Известно, что

${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$

Тогда можно получить

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }$

Касательное напряжение ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ также действует на площадке площадью ${\displaystyle dA}$. Из равенства проекций сил на ось ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ (ось ${\displaystyle y'}$) получаем:

${\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _{\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}}$

Известно, что

${\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta ,\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }$

Тогда можно получить

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }$