Кубик «Вертолёт»

Кубик «Вертолёт» — головоломка, подобная кубику Рубику, придуманная Адамом Г. Кованом в 2005 году и воплощённая в 2006.^{[1][2][3][4][5][6][7]}. Она имеет форму куба и на первый взгляд кажется гибридом кубика 2x2x2 и скьюба. На самом же деле «Вертолёт» разрезан другим образом: в нём осуществляется вращение рёбер, а не граней. Целью головоломки является восстановление смешанных предварительно цветов так, чтобы каждая грань была выкрашена одним цветом.

Кубик «вертолёт» сделан в форме куба и разрезан на 8 угловых кусков и 24 кусков граней. Каждая угловая часть имеет 3 цвета, а каждая часть грани имеет единственный цвет. В отличие от кубика Рубика, грани вертолёта не вращаются, вращаются его рёбра.

Поворот ребра на 180° переставляет угловые части и переставляет две пары центральных кусков, но форма кубика сохраняется. Вся головоломка может быть перемешана таким образом.

Однако есть возможность повернуть ребро на угол примерно ~71°, из-за чего базовые плоскости двух групп угловых частей и центральных частей располагаются на плоскости вращения другого ребра. Тогда второе ребро может быть повёрнуто, смешивая угловые части и центральные части, нарушая кубическую форму головоломки. Этот вид перемешивания известен как смешанный поворот. Вследствие разного вида перемешанных частей некоторые повороты становятся невозможными в смешанной форме. Используя комбинацию таких «смешанных» вращений, можно вернуться к форме куба, но некоторые центральные части окажутся с неверной ориентацией, выступая в виде шипов, и не будут лежать плоско на грани куба. Могут случаться и более тонкие изменения, которые описаны ниже.

Смешанный поворот.

Имеется восемь вариантов вертолёта:

• оригинальный вертолёт, изготовленный компанией «The Twisty Store» (продавал также Уве Мефферт^[англ.]), состоял только из 8 угловых частей и 24 центральных частей граней;
• «Криволинейный вертолёт» Тома ван дер Зандена^[4] имеет 12 рёберных частей с 2 цветами. Это потребует от собирающего кубик выстроить рёберные части, в то время как у вертолёта эти части скрыты и не имеет значения, где они окажутся.
• «Криволинейный вертолёт плюс», также созданный Томом ван дер Занденом, имеет дополнительные рассечения центральных частей граней, что позволяет смешивать части даже больше;
• «Скьюб-вертолёт», опять же Тома ван дер Зандена, который выглядит в точности как оригинальный вертолёт, но может вращаться и как скьюб.
• «Криволинейный вертолёт 3», разрезы проходят через друг друга, эти пересечения образуют центры и 4 лепестка вокруг них. Также является гексаэдрическим аналогом мастер пираморфикса.
• "Цветочный/цветковый вертолет". Это гибрид дино куба и криволинейного вертолета.
• Мастер маленькая отбивнушка - разрез еще глубже, чем на 3 бабочке.
• Маленькая отбивнушка(Хром) - самый глубокий разрез из возможных. Пополам, посередине.

Также существует двойственная вертолету головоломка Самоцвет 1, усложненная его версия Самоцвет 7, у которого искаженные несимметричные шестиугольники, и октаэдр с более глубокими разрезами edge turning октаэдр Эйтана, являющийся двойственной головоломкой к криволинейному вертолету 3. Так как тетраэдр двойственен сам себе, edge turning октаэдр Эйтана - это октаэдрический аналог мастер пираморфикса.

Гибрид кубика Рубика 3х3х3 и бабочки. У нее есть двойственная головоломка - Самоцвет 10. На вид идентичен Самоцвету 1, но, помимо реберных вращений, повороты квадратных сторон также доступны.

Если превратить криволинейный вертолет плюс в ромбододекаэдр, то получится пазл Crazy Comet. Из последней головоломки сделали версию под названием Глаза Небес(англ. Heaven's eyes), в которой грани можно повернуть на половину поворота.

Если у криволинейного вертолета 3 спрятать 6 центров и 24 ребра и превратить получившееся в ромбододекаэдр, то получится 2х2х2 face turning ромбододекаэдр(Rua).

В единичных экземплярах существует Самоцвет 9 - мастер маленькая отбившунка, урезанная до усеченного октаэдра. В массовой продаже есть головоломка в форме идеального шара с различным расположением цветов и сторон и полостью в каждой детале.

Если головоломка перемешана только с помощью поворотов рёбер на 180°, то очевидно, что её можно решить с помощью таких же поворотов на 180°. Однако, если были сделаны некоторые смешанные вращения, даже если форма кубика опять стала кубической, может оказаться невозможным собрать кубик, используя только повороты на 180°. Причина в том, что при поворотах на 180° каждая центральная часть грани может поменять место в цикле, вовлекающем 6 частей, что называют орбитой части^[6]. Центральные части граней на различных орбитах не могут быть обменены при использовании поворотов на 180°. Однако смешанные вращения способны перевести центральные части грани на другие орбиты, что приводит головоломку в состояние, которое нельзя решить поворотами на 180° рёбер.

Предположим, что вертолёт перемешан без использования смешанных ходов (то есть только поворотами на 180 градусов). Возможны любые перестановки углов, включая нечётные. Семь углов могут вращаться независимо, а ориентация восьмого зависит от остальных семи, что даёт 8!×3⁷ комбинаций.

Имеется 24 центральных частей граней, которые могут быть переставлены 24! различными способами. Но центральные части фактически оказываются на 4 различных орбитах, каждая из которых содержит все цвета. Таким образом, число перестановок сокращается до 6!^4[8]. Перестановки центральных частей чётны, так что число перестановок делится на 2.

Если рассматривать куб не фиксированным в пространстве, а положения, которые получаются вращениями куба без смешивания, считаются идентичными, число перестановок уменьшается в 24 раза. Это потому, что все 24 положения и ориентации первого угла эквивалентны ввиду отсутствия фиксирования центров. Этот множитель не возникает, когда вычисляются перестановки N×N×N куба при нечётном N, поскольку эти головоломки имеют фиксированные центры, которые определяют пространственную ориентацию куба.

Это даёт полное число перестановок:

${\displaystyle {\frac {7!\cdot 3^{6}\cdot 6!^{4}}{2}}\approx 4.94\times 10^{17}.}$

В десятичной форме это равно 493.694.233.804.800.000 (примерно 494 квадриллиона по длинной шкале)^[6].

Когда вертолёт перемешан со смешанными вращениями, но форма осталась кубической, то центральные части не оказываются на 4 различных орбитах. Предположим, что четыре центральных части каждого цвета неразличимы, число перестановок равно 24!/(4!⁶). Число получается из того, что имеется 24 (4!) способов расставить четыре куска данного цвета. Степень возникает из наличия шести цветов.

Это даёт полное число перестановок:

${\displaystyle {\frac {7!\cdot 3^{6}\cdot 24!}{4!^{6}}}.}$

В десятичной форме это равно 11.928.787.020.628.077.600.000 (примерно 12 секстиллионов по длинной шкале)^[8].

Чтобы посчитать число позиций, когда теряется форма куба, нам нужно посчитать все возможные формы (игнорируя цвета). Подсчитать эти формы затруднительно, поскольку иногда ходы блокируются формой кусков, а не механизмом головоломки. Матт Галла сделал полный анализ и выложил свои результаты здесь на форуме TwistyPuzzles. Он обнаружил 14.098 форм, или 28.055, если зеркальные формы считаются различающимися. Некоторые из этих форм имеют, однако, симметрию, и дают менее 24 (или 48) возможных ориентаций. Ниже перечислены эти симметрии^[8]:

Симметрия		mr4r3r2	mr3r2	r3r2	mfr2e	mer2e	r2er2e	m4	me	r2e	r2f	mc	i	Всего
	Междун.	Oh	D3d	D3	C2v	C2h	D2	S4	Cs	C2	C2	S2	C1
	Шёнфлис	m3m	3m	322	mm2	2/m	222	4	m	2	2	1	1
Порядок		48	12	6	4	4	4	4	2	2	2	2	1
Индекс		1	4	8	12	12	12	12	24	24	24	24	48
Формы зеркало		1	1	8	1	18	4	1	82	764	5	37	13.176	14.098
		1	1	16	1	18	8	1	82	1.528	10	37	26.352	28.055
Всего		1	4	128	12	216	96	12	1.968	36.672	240	888	1.264.896	1.305.133

Строка «Порядок» показывает размер групп симметрии. Строка «Индекс» отражает индекс группы симметрии как подгруппы полной группы симметрии куба, то есть 48, делённое на порядок. Индекс является также числом способов ориентации конкретной формы в пространстве (включая отражения). Первая строка «Формы» даёт число форм, которые Матт нашёл для каждой группы симметрии, но без учёта зеркальных отражений, вторая строка включает зеркальные отражения. Строка «Всего» равна произведению индекса и числа форм ^[8].

Умножая это на предыдущий результат, получим 15.568.653.590.593.384.802.320.800.000 (примерно 15 квадриллиардов по длинной шкале) смешанных позиций^[8].