Курносый двадцатичетырёхъячейник
Курносый двадцатичетырёхъячейник | |
---|---|
Ортогональная проекция в трёхмерное пространство — на гиперплоскость, проходящую через икосаэдрическую ячейку | |
Тип | Однородный многоячейник[англ.] |
Символ Шлефли | s{3,4,3} sr{3,3,4} s{31,1,1} |
Ячеек | 144 |
Граней | 480 |
Рёбер | 432 |
Вершин | 96 |
Вершинная фигура | Трижды отсечённый икосаэдр |
Курно́сый двадцатичетырёхъяче́йник — четырёхмерный многогранник, один из 47 непризматических выпуклых однородных многоячейников[англ.] и один из 3 полуправильных многоячейников[англ.] (так как составлен из двух разных видов платоновых тел).
Впервые описан в статье 1900 года Торольдом Госсетом[англ.][1], который назвал многоячейник тетрикосаэдриком (tetricosahedric), поскольку его ячейки — тетраэдры и икосаэдры. Также известен как курносый икоситетрахор, полукурносый полиоктаэдр (англ. semi-snub polyoctahedron)[2].
Описание
Ограничен 144 трёхмерными ячейками — 120 правильными тетраэдрами и 24 правильными икосаэдрами. Каждая икосаэдрическая ячейка окружена восемью икосаэдрическими и двенадцатью тетраэдрическими. Тетраэдрические ячейки делятся на две группы: 24 из них окружены четырьмя тетраэдрическими, остальные 96 — тремя икосаэдрическими и тетраэдрической.
Его 480 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. 96 граней разделяют две икосаэдрических ячейки, 96 граней — две тетраэдрических, остальные 288 — икосаэдрическую и тетраэдрическую.
Имеет 432 ребра равной длины. На 288 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (две икосаэдрических и тетраэдрическая), на остальных 144 — по четыре грани и по четыре ячейки (икосаэдрическая и три тетраэдрических).
Имеет 96 вершин. В каждой вершине сходятся по 9 рёбер, по 15 граней и по 8 ячеек (три икосаэдрических и пять тетраэдрических).
Курносый двадцатичетырёхъячейник можно получить из шестисотячейника, отсекши от того 24 икосаэдрических пирамиды — так, чтобы вместо них остались только их основания. Вершины полученного многоячейника — 96 из 120 вершин шестисотячейника (а удалённые 24 вершины образуют вершины обычного двадцатичетырёхъячейника); рёбра — 432 из 720 рёбер шестисотячейника; грани — 480 из 1200 граней шестисотячейника. Отсюда ясно, что у курносого двадцатичетырёхъячейника тоже существуют описанная и обе полувписанных трёхмерных гиперсферы, причём они совпадают с описанной и полувписанными гиперсферами исходного шестисотячейника.
В координатах
Курносый двадцатичетырёхъячейник с длиной ребра можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными чётными перестановками наборов чисел где — отношение золотого сечения.
Начало координат будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его описанной и полувписанных гиперсфер.
Ортогональные проекции на плоскость
Метрические характеристики
Если курносый двадцатичетырёхъячейник имеет ребро длины то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
Радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
Вписать в курносый двадцатичетырёхъячейник гиперсферу — так, чтобы она касалась всех ячеек, — невозможно. Радиус наибольшей гиперсферы, которую можно поместить внутри курносого двадцатичетырёхъячейника с ребром (она будет касаться только всех икосаэдрических ячеек в их центрах), равен
Расстояние от центра многоячейника до любой тетраэдрической ячейки превосходит и равно
Заполнение пространства
С помощью курносых двадцатичетырёхъячейников, шестнадцатиячейников и пятиячейников можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. статью в английской Википедии). Данное заполнение также было найдено Торольдом Госсетом.
Примечания
- ↑ Thorold Gosset. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. — Messenger of Mathematics, vol. 29. — Macmillan, 1900. — pp. 43—48.
- ↑ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — 2008, ISBN 978-1-56881-220-5. — p. 401.
Ссылки
- George Olshevsky. Print #11: Snub icositetrachoron net