Лакунарная функция

Лакунарной функцией называется функция, аналитическая в круге сходимости собственного ряда Тейлора, но которая не может быть продолжена аналитически куда-либо за пределы этого круга.^[1]

Простейшим примером лакунарной функции будет функция, определённая рядом $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}$ . Можно показать, что в единичном круге $\Delta$ этот ряд сходится и, следовательно, представляет собой аналитическую функцию. Однако можно просто показать, что любая точка единичной окружности будет особой для этого ряда, соответственно, аналитическое продолжение на пределы круга будет невозможно.^[1]

См. также

Теорема Адамара о лакунах

Примечания

↑ ¹ ² Szolem Mandelbrojt. Lacunary series // Rice Institute Pamphlet - Rice University Studies. — 1927-10. — Т. 14, вып. 4. Архивировано 2 марта 2020 года.

Похожие исследовательские статьи

Ряд Фурье́ — представление функции $\text{[math]}$ с периодом $\text{[math]}$ в виде ряда

\text{[math]}

Экспоне́нта — показательная функция $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — число Эйлера.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

<span class="mw-page-title-main">Преобразование Мёбиуса</span>

Преобразование Мёбиуса — дробно-линейная функция одного комплексного переменного, тождественно не равная константе:

\text{[math]}

Ко́мпле́ксный ана́лиз, тео́рия фу́нкций ко́мпле́ксного переме́нного — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

Круг сходимости степенного ряда $\text{[math]}$ — это круг вида

\text{[math]}

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Ряд (математика)</span> понятие в математическом анализе

Ряд в математике — одно из центральных понятий математического анализа, математическая концепция, представляющая собой сумму бесконечного числа слагаемых, упорядоченных в определённой последовательности. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

\text{[math]}

Краткая запись:

\text{[math]}

(иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с нуля).

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Ряд Лорана комплексной функции — представление этой функции в виде степенного ряда, в котором присутствуют слагаемые с отрицательными степенями. Назван в честь французского математика П. А. Лорана.

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Изолированная особая точка $\text{[math]}$ называется полюсом функции $\text{[math]}$ , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

\text{[math]}

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Интегральная формула Коши — соотношение для голоморфных функций комплексного переменного, связывающее значение функции в точке с её значениями на контуре, окружающем точку.

Теорема Адама́ра о лаку́нах — утверждение о невозможности аналитического продолжения степенного ряда, у которого почти все коэффициенты равны нулю, за пределы круга сходимости, даже на точки границы круга. Названа в честь математиков Александра Островского и Жака Адамара.

Числова́я фу́нкция — функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество). Числовые множества — это множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел вместе с определёнными для соответствующих множеств алгебраическими операциями. Для всех перечисленных числовых множеств, кроме комплексных чисел, определено также отношение линейного порядка, позволяющее сравнивать числа по величине. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

Теорема Хобби — Райса впервые появилась и была доказана в 1965 г. при рассмотрении вопросов оптимальной аппроксимации функций в лабеговом пространстве $\text{[math]}$ . Более простое доказательство теоремы было дано Пинкусом в 1976 году. Также используется в задачах справедливого дележа.

Многозначная аналитическая функция — многозначная комплексная функция, получаемая при помощи аналитического продолжения по всем путям.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.