Лемма Гаусса о геодезических

Ле́мма Га́усса о геодези́ческих утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через эту точку.

Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также она имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.

Пусть ${\displaystyle T_{p}}$ обозначает касательное пространство в точке ${\displaystyle p}$ риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$ и ${\displaystyle \exp _{p}\colon T_{p}\to M}$ — экспоненциальное отображение.

Заметим, что для любого вектора ${\displaystyle x\in T_{p}}$ касательное пространство к касательному пространству ${\displaystyle T_{x}T_{p}}$ можно отождествить с самим касательным пространством ${\displaystyle T_{p}}$.

Для любых ${\displaystyle x,v\in T_{p}}$

${\displaystyle g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,}$

где ${\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}}$ обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

• Вывод леммы Гаусса с использование гамильтоновой механики на YouTube