Лемма Гаусса о приводимости многочленов

Ле́мма Га́усса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

Пусть ${\displaystyle R}$ — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:

• Пусть ${\displaystyle a\in R,\;\;\;f,g\in R[x],}$ ${\displaystyle a}$ неприводимо (а значит и просто) в ${\displaystyle R}$ и делит все коэффициенты произведения ${\displaystyle f(x)g(x).}$ Тогда ${\displaystyle a}$ также делит все коэффициенты или многочлена ${\displaystyle f(x),}$ или многочлена ${\displaystyle g(x).}$ В частности, если ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен ${\displaystyle f(x)g(x)}$ примитивен;
• Если ${\displaystyle Q}$ — поле частных кольца ${\displaystyle R,}$ и если многочлен неприводим в кольце ${\displaystyle R[x],}$ то он неприводим и в кольце ${\displaystyle Q[x].}$Более того, если многочлен примитивен в ${\displaystyle R[x],}$ то верно и обратное.

Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.

Докажем, что если простой элемент ${\displaystyle p}$ кольца ${\displaystyle R}$ является общим делителем коэффициентов ${\displaystyle f(x)g(x)}$, то он делит либо все коэффициенты ${\displaystyle f(x),}$ либо все коэффициенты ${\displaystyle g(x)}$.

Пусть ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$, ${\displaystyle g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}}$, ${\displaystyle n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g}$ — степени этих многочленов.

Допустим, что ${\displaystyle p}$ не делит в совокупности ни коэффициенты ${\displaystyle f(x),}$ ни ${\displaystyle g(x).}$ Тогда существуют наименьшие ${\displaystyle i,j}$ для которых ${\displaystyle p\nmid a_{i}}$ и ${\displaystyle p\nmid b_{j}.}$

Коэффициент при элементе степени ${\displaystyle i+j}$ многочлена ${\displaystyle f(x)g(x)}$ имеет вид:

${\displaystyle \sum _{k<i}a_{k}b_{i+j-k}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.}$

В соответствии с выбором ${\displaystyle i,j}$ элемент ${\displaystyle p}$ делит все слагаемые в этой сумме, за исключением ${\displaystyle a_{i}b_{j},}$ который он не делит в силу своей простоты и факториальности ${\displaystyle R.}$ Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если ${\displaystyle f(x),g(x)}$ примитивны, то их произведение ${\displaystyle f(x)g(x)}$ — тоже примитивный многочлен.

Пусть теперь ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)}$ — факторизация в кольце ${\displaystyle Q[x].}$ Домножив каждый из ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x)}$ на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что ${\displaystyle af_{1}(x)=h_{1}(x)\in R[x]}$ и ${\displaystyle bf_{2}(x)=h_{2}(x)\in R[x]}$ и ${\displaystyle abf(x)=h_{1}(x)h_{2}(x).}$

Каждый из простых делителей ${\displaystyle ab}$ делит все коэффициенты ${\displaystyle h_{1}(x)h_{2}(x),}$ а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце ${\displaystyle R[x].}$

Обозначим ${\displaystyle \operatorname {cont} (h):=\operatorname {gcd} (a_{0},...,a_{n})}$, где ${\displaystyle {a_{0},...,a_{n}}}$ — коэффициенты многочлена ${\displaystyle h}$. Тогда первое утверждение леммы Гаусса (его примитивная часть, которая легко распространяется на общий случай) легко приобретает следующий вид: если ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)\sim 1}$ и ${\displaystyle \operatorname {cont} (g)\sim 1}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {cont} (f\cdot g)\sim 1}$.

Пусть ${\displaystyle p}$ — простой, который делит ${\displaystyle \operatorname {cont} (f\cdot g)}$, ради противоречия. Раз у ${\displaystyle f\cdot g}$ все коэффициенты кратны ${\displaystyle p}$, то ${\displaystyle [f\cdot g]=[0]}$ в ${\displaystyle R/(p)[x]}$.

Так как ${\displaystyle p}$ — простой, то ${\displaystyle R/(p)}$ — область целостности и, следовательно, ${\displaystyle R/(p)[x]}$ — область целостности. Но тогда ${\displaystyle [f\cdot g]=[0]}$ может быть верно только тогда, когда либо ${\displaystyle [f]=[0]}$, либо ${\displaystyle [g]=[0]}$, то есть когда чей-то ${\displaystyle \operatorname {cont} }$ кратен ${\displaystyle p}$, что противоречит тому, что все ${\displaystyle \operatorname {cont} }$ ассоциированы с 1.

• Теорема Люрота

• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3