Лемма Морса

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — функция класса ${\displaystyle C^{r+2}}$, где ${\displaystyle r\geq 1}$, имеющая точку ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ обращается в нуль, а гессиан ${\displaystyle {\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}}$ отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle 0}$ существует такая система ${\displaystyle C^{r}}$-гладких локальных координат (карта) ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ с началом в точке ${\displaystyle 0}$, что для всех ${\displaystyle x\in U}$ имеет место равенство^[1]

${\displaystyle f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}$.

При этом число ${\displaystyle k}$, определяемое сигнатурой квадратичной части ростка ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle 0}$, называется индексом критической точки ${\displaystyle 0}$ данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

В окрестности критической точки ${\displaystyle 0}$ конечной кратности ${\displaystyle \mu }$ существует система координат, в которой гладкая функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет вид многочлена ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ степени ${\displaystyle \mu +1}$ (в качестве ${\displaystyle P_{\mu +1}(x)}$ можно взять многочлен Тейлора функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle 0}$ в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность ${\displaystyle \mu =1}$, и теорема Тужрона превращается в лемму Морса^[1][2].

Пусть ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} }$ — гладкая функция, имеющая начало координат ${\displaystyle 0}$ своей критической точкой, невырожденной по переменным ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. Тогда в окрестности точки ${\displaystyle 0}$ существуют гладкие координаты, в которых

${\displaystyle f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,}$

где ${\displaystyle f_{0}}$ — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от ${\displaystyle n+m}$ переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции)^[1].

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом^[1].

Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма^[3]. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера^[4].

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: МЦНМО, 2009. — 672 с. — ISBN 978-5-94057-456-9.

• Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.

• Зорич В. А. Математический анализ.

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.

• Хирш М. Дифференциальная топология / Пер. с англ. Д.Б. Фукса.. — М.: Мир, 1979. — 279 с.

• Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.

• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.