Лемма Синга
Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.
Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом.[1]
Формулировка
Пусть есть геодезическая в римановом многообразии с положительной секционной кривизной и параллельное поле касательных векторов на . Тогда вариация в направлении сокращает её длину.
Более точно, если
и обозначает длину кривой тогда и .
Следствия
- Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности,
- Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны.
- Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны.
- Лемма Синга использовалась также Теодором Франкелем[англ.][2] для доказательства того, что если и являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии с положительной секционной кривизной и то и пересекаются.
Примечания
- ↑ Synge, John Lighton (1936), "On the connectivity of spaces of positive curvature", Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series), 7: 316—320, doi:10.1093/qmath/os-7.1.316
- ↑ Frankel, Theodore. Manifolds with positive curvature (англ.) // Pacific J. Math.. — 1961. — Vol. 11. — P. 165–174. Архивировано 18 августа 2020 года.