Ленточный узел

В теории узлов ленточный узел — это узел, который ограничивает самопересекающийся круг только с ленточными особенностями. Интуитивно, этот вид особенности может быть образован путём совершения разреза в круге и пропусканием другой части круга через разрез. Более формально, этот тип особенности заключается в самопересечении по дуге. Прообраз этой дуги состоит из двух дуг круга, одна из которых полностью лежит внутри круга, а концы другой находятся на краю круга.

Теория Морса

Секущий круг M — это гладкое вложение $D^{2}$ в $D^{4}$ с $M\cap \partial D^{4}=\partial M\subset S^{3}$ . Рассматривая функцию $f:D^{4}\to \mathbb {R}$ , заданную формулой $f(x,y,z,w)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}$ , путём небольшой изотопии M можно добиться, чтобы f была функцией Морса на M. Можно сказать, что $\partial M\subset \partial D^{4}=S^{3}$ является ленточным узлом, если $f_{|M}:M\to \mathbb {R}$ не имеет внутреннего локального максимума.

Гипотеза о срезанной ленте

Известно, что любая лента является срезанным узлом. Известная открытая проблема, поставленная Фоксом^[англ.] и известная как гипотеза о срезанной ленте, ставит обратный вопрос: является ли каждый срезанный узел лентой?

Лиска^[1] показал, что гипотеза верна для узлов с числом мостиков^[англ.] два. Грин и Ябука^[2] показали, что это верно для трёхнитевых кружевных зацеплений. Однако Гомпф, Шарлеман и Томпсон ^[3] предположили, что гипотеза может быть и не верна и предложили семейства узлов, которые могут стать контрпримерами.

Литература

Ralph Fox. Topology of 3-manifolds and related topics (Proc. The Univ. of Georgia Institute, 1961). — Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1962. — С. 168—176.. Переиздано в Dover Books, 2010.
Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вып. 4. — С. 2305—2347. — doi:10.2140/gt.2010.14.2305.
Joshua Greene, Stanislav Jabuka. The slice-ribbon conjecture for 3-stranded pretzel knots // American Journal of Mathematics. — 2011. — Т. 133, вып. 3. — С. 555—580. — doi:10.1353/ajm.2011.0022. — arXiv:0706.3398.
Louis H. Kauffman. On Knots. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1987. — Т. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 0-691-08434-3.
Paolo Lisca. Lens spaces, rational balls and the ribbon conjecture // Geometry & Topology. — 2007. — Т. 11. — С. 429—472. — doi:10.2140/gt.2007.11.429.

Теория узлов и зацеплений
Гиперболические	Восьмёрка (4₁) Три полуоборота (5₂) Стивидорный (6₁) 6₂^[англ.] 6₃^[англ.] 7₄ Мат Каррика (8₁₈) Пара Перко (10₁₆₁) Кружевной (−2,3,7)^[англ.] (12n242) Уайтхеда (52 1) Кольца Борромео (63 2) L10a140^[англ.] Узел Конвея (11n34)
Сателлитные	Составные Бабий Прямой Сумма узлов
Торические	Тривиальный (0₁) Трилистник (3₁) Лапчатка (5₁) Семилистник^[англ.] (7₁) Незацепленные^[англ.] (02 1) Хопфа (22 1) Соломона (42 1)
Инварианты	Альтернирующий Инвариант Арфа^[англ.] Число мостов (2-мостиковый) Брунново зацепление Хиральность (Обратимый) Число плёнок Число пересечений Инвариант Васильева Гиперболический объём Гомология Хованова Род Группа узла Группа зацепления Коэффициент зацепления Многочлены (Александера Скобка Кауфмана HOMFLY Джонса Кауфмана) Кружевное зацепление Простой узел (Список) Число отрезков Число трёхцветных раскрасок Число и задача развязывания
Нотация и операции	Нотация Александера – Бриггса^[англ.] Нотация Конвея Нотация Даукера – Тистлетвэйта^[англ.] Мутация Движение Рейдемейстера Скейн-соотношение
Другое	Теорема Александера Узел Берге Теория кос Сфера Конвея Дополнение узла Узел двойного тора Расслоённый узел Ленточный Срезанный Гипотезы Тэйта Скрученный Дикий Число закрученности Поверхность Зейферта

Похожие исследовательские статьи

Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое $\text{[math]}$ -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $\text{[math]}$ -мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.

Голоморфная функция, иногда называемая регулярной функцией — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\text{[math]}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

В теории узлов восьмёрка — это единственный узел с числом пересечений четыре. Это наименьшее возможное число пересечений после трилистника и тривиального узла. Восьмёрка является простым узлом. Впервые рассмотрен Листингом в 1847 году.

Пове́рхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.

Теория узлов — изучение вложений одномерных многообразий в трёхмерное евклидово пространство или в сферу $\text{[math]}$ . В более широком смысле предметом теории узлов являются вложения сфер в многообразия и вложения многообразий в целом.

Фи́нслерова геометрия — одно из обобщений римановой геометрии. В финслеровой геометрии рассматриваются многообразия с финслеровой метрикой; то есть выбором нормы на каждом касательном пространстве, которая гладко меняется от точки к точке.

Правило дифференцирования сложной функции позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

В теории узлов трилистник — простейший нетривиальный узел. Трилистник можно получить, соединив 2 свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Тривиальный узел — геометрический узел, объемлюще-изотопный стандартному вложению окружности в трёхмерную сферу, а также объемлюще-изотопический класс такого геометрического узла.

Задача Штейнера о минимальном дереве состоит в поиске кратчайшей сети, соединяющей заданный конечный набор точек плоскости. Задача получила своё название в честь Якоба Штейнера (1796—1863).

Многочлен Александера — это инвариант узла, который сопоставляет многочлен с целыми коэффициентами узлу любого типа. Джеймс Александер обнаружил его, первый многочлен узла, в 1923. В 1969 Джон Конвей представил версию этого многочлена, ныне носящую название многочлен Александера — Конвея. Этот многочлен можно вычислить с помощью скейн-соотношения, хотя важность этого не была осознана до открытия полинома Джонса в 1984. Вскоре после доработки Конвеем многочлена Александера стало понятно, что похожее скейн-cоотношение было и в статье Александера для его многочлена.

У́зел в математике — вложение окружности в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла считаются эквивалентными, если они изотопны, то есть один из них можно непрерывно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.

Зацепление кратности $\text{[math]}$ — вложение несвязной суммы $\text{[math]}$ экземпляров окружности в $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ .

В теории узлов стивидорный узел или узел грузчика — это один из трёх простых узлов с числом пересечений шесть, два других — 6₂ и 6₃. Стивидорный узел числится под номером 6₁ knot в списке Александера — Бриггса и может быть описан как скрученный узел с четырьмя полуоборотами или как (5,−1,−1) кружевной узел.

Срезанный узел — это тип математического узла. В теории узлов «узел» означает окружность, вложенную в 3-сферу

\text{[math]}

В теории узлов прямой узел — это составной узел, полученный соединением трилистника с его отражением. Узел тесно связан с бабьим узлом, который также является соединением двух трилистников. Поскольку трилистник является простейшим нетривиальным узлом, прямой и бабий узлы являются простейшими составными узлами.

В теории узлов бабий узел — это составной узел, полученный соединением двух одинаковых трилистников. Узел тесно связан с прямым узлом, который тоже можно описать как соединение двух трилистников. Поскольку трилистник является простейшим нетривиальным узлом, прямой и бабий узлы являются простейшими составными узлами.

Теорема о петле — обобщение леммы Дена. Доказана Христосом Папакирьякопулосом в 1956 году вместе с леммой Дена и теоремой о сфере.

Гипотезы Тэйта — это три гипотезы, высказанные математиком XIX века Питером Гатри Тэйтом при изучении узлов. Гипотезы Тэйта вовлекают концепции из теории узлов, такие как альтернированные узлы, хиральность и число закрученности. Все гипотезы Тэйта доказаны, последней была гипотеза о переворачивании.

В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в теории узлов. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.