Линейная динамическая система

Линейные динамические системы — это динамические системы, эволюция которых во времени описывается линейным дифференциальным уравнением (для систем с дискретным временем - линейным разностным уравнением). В то время как динамические системы в целом не имеют замкнутой формы решения, линейные динамические системы могут быть решены точно, и у них есть большой набор математических свойств. Линейные системы также могут быть использованы для понимания поведения общих динамических систем, путём расчета точек равновесия системы и приближения её в виде линейной системы вокруг каждой такой точки.

В линейной динамической системе, изменение вектора состояния ( ${\displaystyle N}$-мерный вектор обозначается ${\displaystyle \mathbf {x} }$) эквивалентно постоянной матрице (обозначается ${\displaystyle \mathbf {A} }$) умноженной на ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Эти изменения могут иметь две формы:

или как поток, в котором ${\displaystyle \mathbf {x} }$ изменяется непрерывно со временем:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} (t)}$

или как отображение, в котором ${\displaystyle \mathbf {x} }$ изменяется дискретно:

${\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} _{m}}$

Эти уравнения являются линейными в следующем смысле: если ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ и ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ - два действительных решения, то и любая линейная комбинация имеет два решения, например, ${\displaystyle \mathbf {z} (t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \alpha \mathbf {x} (t)+\beta \mathbf {y} (t)}$ где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ два любых скаляра. Матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$ не обязательно должна быть симметричной.

Линейные динамические системы могут быть решены точно, в отличие от большинства нелинейных. Иногда, нелинейная система может быть решена точно изменением переменных в линейной системе. Кроме того, решения почти любой нелинейной системы могут быть приближенно найдены эквивалентно линейной системы вблизи её неподвижных точек. Следовательно, понимание линейных систем и их решение является важнейшим шагом к пониманию более сложных нелинейных систем.

Если первоначальный вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (t=0)}$ выровнен с собственным вектором ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ в матрице ${\displaystyle \mathbf {A} }$, динамика проста

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {r} _{k}}$

где ${\displaystyle \lambda _{k}}$ является соответствующим собственному значению; решение этого уравнения

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

как может быть подтверждено путём замены.

Если ${\displaystyle \mathbf {A} }$ диагонализируема, тогда любой вектор в ${\displaystyle N}$-мерном пространстве может быть представлен комбинацией правых и левых собственных векторов (обозначается ${\displaystyle \mathbf {l} _{k}}$) из матрицы ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{N}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}}$

Таким образом, общее решение для ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ линейная комбинация отдельных решений для правых собственных векторов

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}\left(\mathbf {l} _{k}\cdot \mathbf {x} _{0}\right)\mathbf {r} _{k}e^{\lambda _{k}t}}$

Аналогичные соображения применимы и к дискретным отображениям.

Корни характеристического многочлена матрицы (A - λI) являются собственными значениями A. Признак и связь этих корней, ${\displaystyle \lambda _{n}}$, друг с другом могут быть использованы для определения стабильности динамической системы

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {x} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t).}$

Для двухмерных систем, характеристический многочлен имеет вид ${\displaystyle \lambda ^{2}-\tau \lambda +\Delta =0}$ где ${\displaystyle \tau }$ след матрицы ${\displaystyle \Delta }$ является детерминантом, определяющим A. Таким образом, два корня имеют вид:

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}$

Отметим также, что ${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}$ и ${\displaystyle \tau =\lambda _{1}+\lambda _{2}}$. Таким образом, если ${\displaystyle \Delta <0}$ то собственные значения противоположного знака, и неподвижная точка является седловой. Если ${\displaystyle \Delta >0}$ то собственные значения одного знака. Поэтому, если ${\displaystyle \tau >0}$ оба положительны и точка неустойчива, и если ${\displaystyle \tau <0}$ то оба отрицательны и точка устойчива. Дискриминант покажет нам, если точка находится в узле или спирали (т.e. если собственные значения действительные или комплексные).

• Линейная система
• Динамическая система