Линейная рекуррентная последовательность

Линейная рекуррентная последовательность (линейная рекуррента, возвратная последовательность) — числовая последовательность ${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots }$, задаваемая линейным рекуррентным соотношением:

${\displaystyle x_{n}=a_{1}\cdot x_{n-1}+\dots +a_{d}\cdot x_{n-d}}$ для всех ${\displaystyle n\geqslant d}$

с заданными начальными членами ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{d-1}}$, где ${\displaystyle d}$ — фиксированное натуральное число, ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{d}}$ — заданные числовые коэффициенты, ${\displaystyle a_{d}\neq 0}$. При этом число ${\displaystyle d}$ называется порядком последовательности.

Теория линейных рекуррентных последовательностей является точным аналогом теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Частными случаями линейных рекуррентных последовательностей являются последовательности Люка ${\displaystyle x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}}$, в частности арифметические прогрессии (${\displaystyle (P,Q)=(2,1)}$), геометрические прогрессии (${\displaystyle P\neq Q=0}$, где ${\displaystyle x_{1}=Px_{0}}$), числа Фибоначчи (${\displaystyle (P,Q)=(1,-1)}$), числа Люка (${\displaystyle (P,Q)=(1,-1)}$); числа трибоначчи, удовлетворяющие ${\displaystyle x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3}}$ и ряд других обобщений чисел Фибоначчи.

Основы теории линейных рекуррентных последовательностей были даны в 1720-е годы Абрахамом де Муавром и Даниилом Бернулли; Леонард Эйлер изложил её в тринадцатой главе «Введения в анализ бесконечно-малых» (1748)^[1]. Позднее Пафнутий Чебышёв и ещё позже Андрей Марков изложили эту теорию в своих курсах исчисления конечных разностей^[2][3].

Среди приложений — применение линейных рекуррентные последовательностей над кольцами вычетов для генерации псевдослучайных чисел.

Для линейных рекуррентных последовательностей существует формула, выражающая общий член последовательности через корни её характеристического многочлена:

${\displaystyle \lambda ^{d}-a_{1}\lambda ^{d-1}-\dots -a_{d-1}\lambda -a_{d}}$,

общий член выражается в виде линейной комбинации ${\displaystyle d}$ последовательностей вида:

${\displaystyle x_{n}=\lambda _{k}^{n}\cdot n^{m},}$

где ${\displaystyle \lambda _{k}}$ — корень характеристического многочлена и ${\displaystyle m}$ — целое неотрицательное число меньшее, чем кратность ${\displaystyle \lambda _{k}}$.

Для чисел Фибоначчи такой формулой является формула Бине.

Например, для нахождения формулы общего члена последовательности ${\displaystyle F_{n}}$, удовлетворяющей линейному рекуррентному уравнению второго порядка ${\displaystyle F_{n}=b\cdot F_{n-1}+c\cdot F_{n-2}}$ с начальными значениями ${\displaystyle F_{1}}$, ${\displaystyle F_{2}}$, следует решить характеристическое уравнение

${\displaystyle q^{2}-bq-c=0}$.

Если уравнение имеет два различных корня ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$, отличных от нуля, то для произвольных постоянных ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, последовательность

${\displaystyle F_{n}=A\cdot q_{1}^{n}+B\cdot q_{2}^{n},}$

удовлетворяет рекурентному соотношению; остаётся найти числа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, что

${\displaystyle F_{1}=A\cdot q_{1}+B\cdot q_{2}}$ и ${\displaystyle F_{2}=A\cdot q_{1}^{2}+B\cdot q_{2}^{2}}$.

Если же дискриминант характеристического уравнения равен нулю и значит уравнение имеет единственный корень ${\displaystyle q_{1}}$, то для произвольных постоянных ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, последовательность:

${\displaystyle F_{n}=(A+B\cdot n)\cdot q_{1}^{n}}$

удовлетворяет рекурентному соотношению; остаётся найти числа ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, что

${\displaystyle F_{1}=(A+B)\cdot q_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}=(A+B\cdot 2)\cdot q_{1}^{2}}$.

В частности, для последовательности, определяемой следующим линейным рекуррентным уравнением второго порядка:

${\displaystyle F_{n}=5\cdot F_{n-1}-6\cdot F_{n-2}}$; ${\displaystyle F_{1}=1}$, ${\displaystyle F_{2}=-2}$

корнями характеристического уравнения ${\displaystyle q^{2}-5\cdot q+6=0}$ являются ${\displaystyle q_{1}=2}$, ${\displaystyle q_{2}=3}$. Поэтому:

${\displaystyle F_{n}=-2\cdot (3^{n-1}-2^{n-1})-6\cdot (3^{n-2}-2^{n-2})}$.

Окончательно:

${\displaystyle F_{n}=5\cdot 2^{n-1}-4\cdot 3^{n-1}}$.

• А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. — Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Т. 1. — (Популярные лекции по математике).
• М. М. Глухов, В. П. Елизаров, А. А. Нечаев. Глава XXV. Линейные рекуррентные последовательности // Алгебра. — Учебник. В 2-x томах. — М.: Гелиос АРВ, 2003. — Т. 2. — ISBN 8-85438-072-2.
• А. Егоров. Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13.
• Чебраков Ю. В. Глава 2.7. Рекуррентные уравнения // Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. — СПб., 2010.