Геоме́трия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения. В практических задачах геометрия позволяет предсказывать геометрические размеры тела, зная другие геометрические размеры этого тела с помощью известных геометрических законов.
Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.
Проективное преобразование проективной плоскости — это преобразование, переводящее прямые в прямые.
Аффи́нное простра́нство — математический объект (пространство), обобщающий некоторые свойства евклидовой геометрии. В отличие от векторного пространства, аффинное пространство оперирует с объектами не одного, а двух типов: «векторами» и «точками».
То́чка — один из фундаментальных (неопределяемых) математических объектов, свойства которого задаются системой аксиом. Нестрого можно представлять точку как неделимый элемент соответствующего математического пространства, определяемого в геометрии, математическом анализе и других разделах математики. В классической геометрии и в большинстве её обобщений все геометрические фигуры считаются состоящими из точек.
Проективная геометрия — раздел геометрии, изучающий проективные плоскости и пространства. Главная особенность проективной геометрии состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции.
Неархимедова геометрия — совокупность геометрических предложений, вытекающих из систематических групп аксиом: инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности системы аксиоматики Гильберта евклидовой геометрии, и не связанных с аксиомами непрерывности . В узком смысле неархимедова геометрия описывает геометрические свойства прямой, на которой не верна аксиома Архимеда . Для исследования геометрических соотношений в неархимедовой геометрии вводится исчисление отрезков — неархимедова числовая система, рассматриваемая как специальная комплексная числовая система. Определяются понятия отрезка, отношения отрезков, сложение и умножение отрезков. В частности, вводится дезаргова числовая система — неархимедова система, в которой умножение отрезков некоммутативно. С помощью этих числовых систем в неархимедовой геометрии строится теория подобия фигур, теория площадей и т. д.
Однородные координаты ― система координат, используемая в проективной геометрии, подобно тому, как декартовы координаты используются в евклидовой геометрии.
Блок-схема — это множество вместе с семейством подмножеств, члены которого удовлетворяют некоторым свойствам, которые считаются полезными для конкретного приложения. Эти приложения приходят из разных областей, включая планирование эксперимента, конечную геометрию, тестирование программного обеспечения, криптографию и алгебраическую геометрию. Рассматривалось много вариантов, но наиболее интенсивно изучались сбалансированные неполные блок-схемы, которые исторически были связаны со статистическими задачами при планировании эксперимента.
Важное свойство проективной плоскости — «симметрия» ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах, и двойственность является формализацией этой концепции. Имеются два подхода к концепции двойственности: один, использующий язык «принципа двойственности», позволяет объявить ряд теорем двойственными друг к другу, при этом двойственная к верной теореме тоже верна; и другой, функциональный подход, основанный на специальном отображении двойственности. Связь между подходами состоит в том, что двойственная теорема получается применением отображения двойственности к каждому объекту исходной. Возможен и координатный подход.
Конечная геометрия — геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неограниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует вещественных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.
Плоскость Фано — конечная проективная плоскость порядка 2, имеющая наименьшее возможное число точек и прямых, с тремя точками на каждой прямой и с тремя прямыми, проходящими через каждую точку. Названа по имени итальянского математика Джино Фано.
В проективной геометрии конфигурация на плоскости состоит из конечного множества точек и конечной конфигурации прямых, таких, что каждая точка инцидентна одному и тому же числу прямых и каждая прямая инцидентна одному и тому же числу точек.
Конфигурация Гессе — конфигурация 9 точек и 12 прямых с тремя точками на каждой прямой и с четырьмя прямыми, проходящих через каждую точку. Её рассматривал Колин Маклорен и изучал Отто Гессе (1844), Конфигурация реализуема в комплексной проективной плоскости как множество точек перегиба эллиптической кривой, но не существует реализации на евклидовой плоскости.
Алгебраическая комбинаторика — это область математики, использующая методы общей алгебры, в особенности теории групп и теории представлений, в различных комбинаторных контекстах и, наоборот, применяющая комбинаторные техники к задачам в алгебре.
Геометрия инцидентности — раздел классической геометрии, изучающий структуры инцидентности, например принадлежность точки прямой.
Конфигурация Сильвестра — Галлаи состоит из конечного подмножества точек проективного пространства со свойством, что прямая через любые две точки подмножества проходит также по меньшей мере ещё через одну точку подмножества.
Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l, которое записывается как P I l. Если P I l, пара (P, l) называется флагом. В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на плоскости, и т. д.), однако термин «инцидентна» предпочтительнее, поскольку не предполагает дополнительных cопутствующих понятий и может быть использован симметрично, отражая свойство симметричности отношения. Утверждения, такие как «прямая l1 пересекает прямую l2», также являются утверждениями об отношении инцидентности, но в этом случае проще сказать: «существует точка P, инцидентная обоим прямым l1 и l2». Когда один тип объектов можно рассматривать как множество объектов другого типа (а именно, плоскость является множеством точек), отношение инцидентности можно рассматривать как включение.
