Логика высказываний

Логика высказываний, пропозициональная логика (лат. propositio — «высказывание»^[1]) или исчисление высказываний^[2], также логика нулевого порядка — это раздел символической логики, изучающий сложные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотношения. В отличие от логики предикатов, пропозициональная логика не рассматривает внутреннюю структуру простых высказываний, она лишь учитывает, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные^[3].

Несмотря на свою важность и широкую сферу применения, логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений^[2].

Язык логики высказываний (пропозициональный язык^[4]) — формализованный язык, предназначенный для анализа логической структуры сложных высказываний^[1].

Исходные символы, или алфавит языка логики высказываний^[5]:

• множество пропозициональных переменных (пропозициональных букв):

${\displaystyle {\text{Var}}=\{p,q,r...\}}$

• пропозициональные связки (логические союзы):

Символ	Значение
${\displaystyle \neg }$	Знак отрицания
${\displaystyle \land }$ или &	Знак конъюнкции («логическое И»)
${\displaystyle \vee }$	Знак дизъюнкции («логическое ИЛИ»)
${\displaystyle \rightarrow }$	Знак импликации

• Вспомогательные символы: левая скобка (, правая скобка ).^[6]

Пропозициональная формула — слово языка логики высказываний^[7], то есть конечная последовательность знаков алфавита, построенная по изложенным ниже правилам и образующая законченное выражение языка логики высказываний^[1].

Индуктивное определение множества формул ${\displaystyle Fm}$ логики высказываний:^[4][1]

1. Если ${\displaystyle p\in {\text{Var}}}$, то ${\displaystyle p\in {\text{Fm}}}$ (всякая пропозициональная переменная есть формула);
2. если ${\displaystyle A}$ — формула, то ${\displaystyle \neg A}$ — тоже формула;
3. если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные формулы, то ${\displaystyle (A\wedge B)}$, ${\displaystyle (A\vee B)}$, ${\displaystyle (A\to B)}$ — тоже формулы.

Других формул в языке логики высказываний нет.

Форма Бэкуса — Наура, определяющая синтаксис логики высказываний, имеет запись:

${\displaystyle A::=p\;|\;(\neg A)\;|\;(A\land A)\;|\;(A\lor A)\;|\;(A\to A)}$

Заглавные латинские буквы ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и другие, которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, то есть языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения ${\displaystyle \neg A}$, ${\displaystyle (A\to B)}$ и другие — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение ${\displaystyle (A\wedge B)}$ есть схема, под которую подходят формулы ${\displaystyle (p\wedge q)}$, ${\displaystyle (p\wedge (r\vee s))}$ и другие^[1].

Относительно любой последовательности знаков алфавита языка логики высказываний можно решить, является она формулой или нет. Если эта последовательность может быть построена в соответствии с пп. 1—3 определения формулы, то она формула, если нет, то не формула^[1].

Поскольку в построенных по определению формулах оказывается слишком много скобок, иногда и не обязательных для однозначного понимания формулы, существует соглашение о скобках, по которому некоторые из скобок можно опускать. Записи с опущенными скобками восстанавливаются по следующим правилам.

• Если опущены внешние скобки, то они восстанавливаются.
• Если рядом стоят две конъюнкции или дизъюнкции (например, ${\displaystyle A\wedge B\wedge C}$), то в скобки заключается сначала самая левая часть (то есть эти связки левоассоциативны).
• Если рядом стоят разные связки, то скобки расставляются согласно приоритетам: ${\displaystyle \neg ,\wedge ,\vee }$ и ${\displaystyle \to }$ (от высшего к низшему).

Когда говорят о длине формулы, имеют в виду длину подразумеваемой (восстанавливаемой) формулы, а не сокращённой записи.

Например: запись ${\displaystyle A\vee B\wedge \neg C}$ означает формулу ${\displaystyle (A\vee (B\wedge (\neg C)))}$, а её длина равна 12.

Как и любой другой формализованный язык, язык логики высказываний можно рассматривать как множество всех слов, построенных с использованием алфавита этого языка^[8]. Язык логики высказываний можно рассматривать как множество всевозможных пропозициональных формул^[4]. Предложения естественного языка могут быть переведены на символический язык логики высказываний, где они будут представлять собой формулы логики высказываний. Процесс перевода высказывания в формулу языка логики высказываний называется формализацией. Обратный процесс подстановки вместо пропозициональных переменных конкретных высказываний называется интерпретацией^[9].

Одним из возможных вариантов (гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:

${\displaystyle A_{1}:A\rightarrow (B\rightarrow A)}$;

${\displaystyle A_{2}:(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))}$;

${\displaystyle A_{3}:A\wedge B\rightarrow A}$;

${\displaystyle A_{4}:A\wedge B\rightarrow B}$;

${\displaystyle A_{5}:A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))}$;

${\displaystyle A_{6}:A\rightarrow (A\vee B)}$;

${\displaystyle A_{7}:B\rightarrow (A\vee B)}$;

${\displaystyle A_{8}:(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))}$;

${\displaystyle A_{9}:\neg A\rightarrow (A\rightarrow B)}$;

${\displaystyle A_{10}:(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)}$;

${\displaystyle A_{11}:A\vee \neg A}$.

вместе с единственным правилом:

${\displaystyle {\frac {A\quad (A\rightarrow B)}{B}}}$ (Modus ponens)

Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.

Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если даны истинностные значения входящих в неё переменных. Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок^[10].

Пусть ${\displaystyle \mathbb {B} }$ — множество всех истинностных значений ${\displaystyle \{0,1\}}$, а ${\displaystyle Var}$ — множество пропозициональных переменных. Тогда интерпретацию (или модель) языка логики высказываний можно представить в виде отображения

${\displaystyle M\colon {\text{Var}}\to \mathbb {B} }$,

которое каждую пропозициональную переменную ${\displaystyle p}$ сопоставляет с истинностным значением ${\displaystyle M(p)}$^[10].

Оценка отрицания ${\displaystyle \neg p}$ задаётся таблицей:

${\displaystyle p}$	${\displaystyle \neg p}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

Значения двухместных логических связок ${\displaystyle \rightarrow }$ (импликация), ${\displaystyle \vee }$ (дизъюнкция) и ${\displaystyle \wedge }$ (конъюнкция) определяются так:

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\rightarrow q}$	${\displaystyle p\wedge q}$	${\displaystyle p\vee q}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных (то есть, при любой интерпретации)^[11]. Далее перечислены несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:

• законы де Моргана:

${\displaystyle \neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\wedge \neg q)}$;

${\displaystyle \neg (p\wedge q)\leftrightarrow (\neg p\vee \neg q)}$;

• закон контрапозиции:

${\displaystyle (p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)}$;

• законы поглощения:

${\displaystyle p\vee (p\wedge q)\leftrightarrow p}$;

${\displaystyle p\wedge (p\vee q)\leftrightarrow p}$;

• законы дистрибутивности:

${\displaystyle p\wedge (q\vee r)\leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$;

${\displaystyle p\vee (q\wedge r)\leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)}$.

• Логика первого порядка
• Дизъюнктивная нормальная форма
• Конъюнктивная нормальная форма

• Кондаков Н. И. Логический словарь / Горский Д. П.. — М.: Наука, 1971. — 656 с.
• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Чупахин И. Я., Бродский И. Н. Формальная логика. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977. — 357 с.
• Войшвилло Е. К., Дегтярев М. Г. Логика. — М.: ВЛАДОС-ПРЕСС, 2001. — 528 с. — ISBN 5-305-00001-7.
• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 448 с. — ISBN 978-5-7695-4593-1.
• А. С. Карпенко. Логика высказываний // Новая философская энциклопедия : в 4 т. / пред. науч.-ред. совета В. С. Стёпин. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Мысль, 2010. — 2816 с.
• Герасимов А. С. Курс математической логики и теории вычислимости. — СПб.: Издательство «ЛЕМА», 2011. — 284 с. — ISBN 978-5-98709-292-7.