Магическая окружность

Магические окружности ввёл китайский математик Ян Хуэй (c. 1238–1298) из группы выдающихся сунских алгебраистов (960–1279). Это расположение натуральных чисел по окружностям, в которых сумма чисел на каждой окружности и сумма чисел на диаметрах совпадают. Одна из его магических окружностей составлена из 33 натуральных чисел от 1 до 33, расположенных на четырёх концентрических окружностях с числом 9 в центре.

Серия магических окружностей Яна Хуэя была опубликована в его работе «Сюйгу чжайци суаньфа»《續古摘奇算法》 (Наследственная давняя коллекция редких методов счисления) 1275 года. Его серия магических окружностей включает 5 магических окружностей в квадрате, 6 окружностей в кольце, восемь магических окружностей в квадрате, 9 магических окружностей в квадрате.

Магические концентрические окружности Яна Хуэя (рисунок выше) имеют следующие свойства

• Сумма чисел на четырёх диаметрах равна 147，
  • 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
• Сумма 8 чисел плюс 9 в центре =147;
  • 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
• Сумма по восьми радиусам без 9 = магическому числу 69: например, 27 + 15 + 3 + 24 = 69
• Сумма чисел на каждой окружности (не включая 9) = 2 × 69
• Существует 8 полуокружностей, на которых сумма чисел = магическому числу 69; есть 16 отрезков и дуг (полуокружности и радиусы) с магическим числом 69, больше, чем у магического квадрата порядка 6 с только 12 магическими рядами.

64 числа расположены на окружностях по 8 на каждой с общей суммой 2080 и с суммами по горизонтали и вертикали, равными 260.

Начиная с северо-западного числа по часовой стрелке суммы 8 числовых окружностей:

40 + 24 + 9 + 56 + 41 + 25 + 8 + 57 = 260

14 + 51 + 46 + 30 + 3 + 62 + 35 + 19 = 260

45 + 29 + 4 + 61 + 36 + 20 + 13 + 52 = 260

37 + 21 + 12 + 53 + 44 + 28 + 5 + 60 = 260

47 + 31 + 2 + 63 + 34 + 18 + 15 + 50 = 260

7 + 58 + 39 + 23 + 10 + 55 + 42 + 26 = 260

38 + 22 + 11 + 54 + 43 + 27 + 6 + 59 = 260

48 + 32 + 1 + 64 + 33 + 17 + 16 + 49 = 260

Также суммы восьми чисел вдоль горизонтальных и вертикальных осей

14 + 51 + 62 + 3 + 7 + 58 + 55 + 10 = 260

49 + 16 + 1 + 64 + 60 + 5 + 12 + 53 = 260

Более того, сумма 16 чисел по диагоналям равна удвоенному 260:

40 + 57 + 41 + 56 + 50 + 47 + 34 + 63 + 29 + 4 + 13 + 20 + 22 + 11 + 6 + 27 = 2 × 260 = 520

72 числа от 1 до 72, расположенных на девяти окружностях. В середине числа образуют ещё четыре числовых окружности, что вместе даёт 13 окружностей по восемь чисел:

Дополнительная окружность x1 содержит числа из окружностей С-З, С, Ц и З

x2 содержит числа из окружностей С, С-В, В и Ц;

x3 содержит числа от З, Ц, Ю и Ю-З;

x4 содержит числа от Ц, В, Ю-В и Ю.

• полная сумма всех 72 чисел = 2628;
• сумма чисел по любой окружности = 292;
• сумма трёх окружностей по горизонтали = 876;
• сумма трёх окружностей по вертикали = 876;
• сумма трёх окружностей по диагонали = 876.

Динг Юдонг был математиком и жил в то же время, что и Ян Хуэй. В его магической окружности 6 колец, цифры единиц чисел (то есть последние цифры) пяти внешних колец вместе с цифрой единиц в центре (5) образуют следующий магический квадрат:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Метод построения: Возьмём

радиальная группа 1=1,11,21,31,41

радиальная группа 2=2,12,22,32,42

радиальная группа 3=3,13,23,33,43

радиальная группа 4=4,14,24,34,44

радиальная группа 6=6,16,26,36,46

радиальная группа 7=7,17,27,37,47

радиальная группа 8=8,18,28,38,48

радиальная группа 9=9,19,29,39,49

радиальная группа =5,15,25,35,45

Расположим радиальные группы 1,2,3,4,6,7,9 так, что

• Каждое число занимает одну позицию на окружности
• Меняем направления так, что одна радиальная группа имеет наименьшее число на внешней стороне, а противоположная группа (по диагонали) имеет на внешней стороне наибольшее число.
• Каждая группа занимает позицию согласно квадрату Ло Шу, то есть группа 1 в позиции 1, группа 2 в позиции 2 и т.д..
• Наконец, формируем самую маленькую окружность так, что

число 5 принадлежит группе 1

число 10 принадлежит группе 2

число 15 принадлежит группе 3

...

число 45 принадлежит группе 9

Чэн Давэй, математик времён династии Мин, в своей книге «Сюаньфа тунцзун»^[англ.] привёл некоторые магические окружности

В 1917 году У. С. Эндрюс опубликовал расположение чисел numbers 1, 2, 3, ..., 62 на одиннадцати из двенадцати окружностях на сфере, представляющих параллели и меридианы Земли, так что каждая окружность имеет 12 чисел, в сумме дающих 378^[1].

Магическая окружность может быть получена из одного или более магических квадратов путём помещения числа на каждом пересечении окружности и спицы (колеса). Дополнительные спицы могут быть добавлены путём замены столбцов магического квадрата.

В примере на рисунке следующий 4×4 совершенный магический квадрат^[англ.] был скопирован в верхнюю часть магической окружности. Каждое число с добавлением 16 был помещён симметрично относительно центра окружности. Это приводит к магической окружности, содержащей числа от 1 до 32 с суммами по каждой окружности и диаметром 132^[1].