Магнитная гидродинамика

Магнитная гидродинамика — физическая дисциплина, возникшая на пересечении гидродинамики и электродинамики сплошной среды. Предметом её изучения является динамика проводящей жидкости или газа в магнитном поле. Примерами изучаемых сред являются различного рода плазма, жидкие металлы, солёная вода.

Пионером исследований в области теории магнитогидродинамики признан Ханнес Альфвен, удостоившийся за свои работы Нобелевской премии в 1970 году. Первой экспериментальной работой в этой области стало исследование Гартманом в 1937 году сопротивления течения ртути в трубке при воздействии поперечного магнитного поля.

Уравнения магнитной гидродинамики

Полная система уравнений нерелятивистской магнитной гидродинамики проводящей жидкости имеет вид:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Здесь:

$p$ — давление в среде;
$\rho$ — плотность среды;
$\sigma$ — проводимость среды;
$\eta$ — сдвиговая вязкость среды;
$\zeta$ — объёмная вязкость среды;
${\vec {v}}$ — поле скоростей;
${\vec {H}}$ — напряжённость магнитного поля.

Эта система содержит 8 уравнений и позволяет определить 8 неизвестных ( $p$ , $\rho$ , ${\vec {H}}$ , ${\vec {v}}$ ) при заданных начальных и граничных условиях.

Если воспользоваться следующими приближениями (бездиссипативный предел):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

то система уравнений МГД запишется в более простом виде:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p=p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\\displaystyle {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Вывод уравнений

Вывод уравнений МГД из уравнений Максвелла и гидродинамики

Запишем систему уравнений Максвелла в системе СГС:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}

Будем исходить из следующих предположений:

магнитная проницаемость равна единице: $\mu =1;$
нет электрических зарядов: $\rho =0;$
закон Ома имеет вид: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Ограничимся нерелятивистским случаем ( $v\ll c$ ), то есть $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|.$

Обоснование нерелятивистского приближения.

Покажем, что $v\ll c$ эквивалентно $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}\nabla \times {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}\right|

Оценим это выражение:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

где:

$L$ — характерная длина;
$\tau$ — характерное время.

Это приводит нас к следующем соотношению:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

То есть характерная скорость в системе должна быть на много меньше скорости света.

Уравнения Максвелла в этом приближении запишутся следующим образом:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Выразив из закона Ома ${\vec {E}}$ и подставив его в первое уравнение, получим:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Подставив в это уравнение ток из второго уравнения Максвелла, получим:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].

В пределе идеальной проводящей жидкости $\sigma \to \infty$ получаем:

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right].$

Для связи с гидродинамикой в уравнение Навье — Стокса добавляется член, отвечающий за силу Ампера, действующую на токи со стороны магнитного поля (ток выражается из второго уравнения Максвелла через напряжённость магнитного поля):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].

Приложения

Принципы магнитной гидродинамики используются для дистанционного контроля и управления поведением жидких металлов в промышленности, в частности:

в МГД-насосах;
в МГД-генераторах.

См. также

Литература

Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4.
Котельников И. А. Лекции по физике плазмы. Том 2: Магнитная гидродинамика. — 3-е изд. — СПб.: Лань, 2021. — 446 с. — ISBN 978-5-8114-6933-8.