Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.
Гипотеза Ходжа сформулирована в 1941 году Вильямом Ходжем и состоит в том, что для типов пространств, называемых проективными алгебраическими многообразиями, так называемые циклы Ходжа являются комбинациями объектов, имеющих геометрическую интерпретацию, — алгебраических циклов.
Схе́ма — математическая абстракция, позволяющая связать алгебраическую геометрию, коммутативную алгебру и дифференциальную геометрию и переносить идеи из одной области в другую. В первую очередь понятие схемы позволяет перенести геометрическую интуицию и геометрические конструкции, такие как тензорные поля, расслоения и дифференциалы, в теорию колец. Исторически теория схем возникла с целью обобщения и упрощения классической алгебраической геометрии итальянской школы XIX века, занимавшейся исследованием полиномиальных уравнений.
Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.
Фёдор Алексеевич Богомолов — советский и американский математик, известный своими работами по алгебраической геометрии и теории чисел.
Поверхность Веронезе — алгебраическая поверхность в пятимерном проективном пространстве, которая реализуется как образ вложения Веронезе. Существует также обобщение вложения Веронезе на произвольные размерности проективных пространств. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Веронезе.
Микио Сато — японский математик, создатель алгебраического анализа.
В истории математики словосочетание итальянская школа алгебраической геометрии относится к работам на протяжении более чем полувекового периода учёных разных стран в области бирациональной геометрии, в частности, теории алгебраических поверхностей. Было примерно 30 — 40 ведущих математиков, которые внесли наибольший вклад в эти труды, из которых примерно половина действительно была итальянцами. Лидерами в этой школе считались римские математики Гвидо Кастельнуово, Федериго Энрикес и Франческо Севери, работы которых содержали глубокие открытия и определили стиль научной школы.
Теорема Квиллена — Суслина — утверждение о тривиальности произвольного векторного расслоения над аффинным пространством произвольной размерности. Сформулировано как гипотеза в 1955 году Жан-Пьером Серром, доказательство получено в 1976 году Андреем Суслиным и Даниелем Квилленом.
Бирациональная геометрия — это раздел алгебраической геометрии, основной задачей которого является классификация алгебраических многообразий с точностью до бирациональной эквивалентности. Это сводится к изучению отображений, которые задаются рациональными функциями, а не многочленами. Отображение может быть не определено в некоторых точках, являющихся полюсами рациональной функции.
Пространство модулей в алгебраической геометрии — это геометрическое пространство, точки которого соответствуют некоторому классу алгебро-геометрических объектов 
, факторизованному по некоторому отношению эквивалентности 
. Такие пространства часто возникают как решения классификационных задач: если множество интересующих нас объектов, может быть снабжено структурой геометрического пространства, то можно параметризовать данные объекты, введя координаты на этом пространстве. В данном контексте термин «модули» синонимичен термину «параметры»: пространства модулей первоначально понимались как пространства параметров, а не пространства объектов.
Когерентные пучки — класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами пространства-носителя. В определении когерентного пучка используется пучок колец, который хранит эту геометрическую информацию.
Геометрический род — это базовый бирациональный инвариант pg алгебраических многообразий и комплексных многообразий.
Классификация Энриквеса — Кодайры — это классификация компактных комплексных поверхностей на десять классов. Для каждого из этих классов поверхности этих классов можно параметризовать пространством модулей. Для большинства классов пространства модулей хорошо проработаны, но для класса поверхностей общего типа пространства модулей слишком сложны для явного описания, хотя некоторые компоненты известны.
Теорема Римана — Роха связывает комплексный анализ связных компактных римановых поверхностей с чисто топологическим родом поверхности g, используя методы, которые могут быть распространены на чисто алгебраические ситуации.
K-теория — математическая теория, изучающая кольца, порождённые векторными расслоениями над топологическими пространствами или схемами. В алгебраической топологии эта обобщённая теория когомологий называется топологической K-теорией. В алгебре и алгебраической геометрии соответствующий раздел называется алгебраической K-теорией. Также она играет важную роль в операторных алгебрах и её можно рассматривать как теорию определенных видов инвариантов больших матриц.
Такуро Мотидзуки (яп. 望月 拓郎 Мотидзуки Такуро:, род. 26 августа 1972 года, Токио) — японский математик, специалист по алгебраической геометрии, профессор Киотского университета, лауреат премии за прорыв в математике в основной номинации (2022).
Некоммутативная геометрия (НКГ) — раздел математики, посвященный геометрическому подходу к некоммутативным алгебрам и построению «пространств», которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций.
