Масштабная инвариантность

Масштабная инвариантность (скейлинг) — свойство уравнений физики сохранять свой вид при изменении всех расстояний и промежутков времени в одинаковое число раз, то есть^[1]

${\displaystyle x\rightarrow k\cdot x\,\,\,\,y\rightarrow k\cdot y\,\,\,\,z\rightarrow k\cdot z\,\,\,\,t\rightarrow k\cdot t}$

Причём здесь подразумевается лишь изменение единиц измерения, само пространство-время остаётся неизменным. Такие изменения называются преобразованиями подобия и образуют группу масштабных преобразований.

При масштабном преобразовании одни физические величины остаются неизменными, а другие изменяются в соответствии со своей размерностью. Причём здесь имеется в виду размерность, несколько отличная от размерности СИ, поскольку, например, заряд в принципе не может меняться при масштабном преобразовании, но в СИ его единица является производной от единицы времени.

К масштабно инвариантным величинам относятся:

• безразмерные величины
• масса: ${\displaystyle m\rightarrow m}$
• энергия: ${\displaystyle E\rightarrow E}$
• заряд: ${\displaystyle q\rightarrow q}$
• температура: ${\displaystyle T\rightarrow T}$

Изменяются при масштабном преобразовании:

• площадь: ${\displaystyle S\rightarrow k^{2}\cdot S}$
• объём: ${\displaystyle V\rightarrow k^{3}\cdot V}$
• плотность тока: ${\displaystyle {\vec {j}}\rightarrow k^{-3}\cdot {\vec {j}}}$
• векторный потенциал: ${\displaystyle {\vec {A}}\rightarrow k^{-1}\cdot {\vec {A}}}$

В математике понятие масштабной инвариантности обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых по отношению к преобразованию подобия. Также близким по смыслу является понятие самоподобие. Кроме того, некоторые распределения вероятностей случайных процессов, демонстрируют масштабную инвариантность или самоподобие.

В классической теории поля под масштабной инвариантностью часто понимается инвариантность всей теории относительно преобразований подобия. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характеристической длины.

В квантовой теории поля масштабная инвариантность интерпретируется в терминах физики элементарных частиц. В масштабно-инвариантной теории, сила взаимодействия частиц не должна зависеть от их энергии.^[2]

В статистической физике масштабная инвариантность встречается дважды.

Во-первых, это свойство фазовых переходов. Ключевым элементом здесь является то, что вблизи фазового перехода или критической точки имеют место флуктуации любого масштаба, и поэтому следует искать явно масштабно-инвариантную теорию для описания этих явлений.

Во-вторых, это свойство распределения открытого статистического ансамбля (ОСА). Здесь общий член распределения вложенной подсистемы соответствует такому же для исходной системы.

Уравнения классической физики являются масштабно инвариантными, если в их решения входит масса или другие размерные параметры, не меняющиеся при масштабном преобразовании. Например, уравнения Максвелла.

Уравнения квантовой физики, например, уравнение Клейна-Гордона и уравнение Дирака, масштабно инвариантны только для расстояний, малых по сравнению с комптоновской длиной волны ${\displaystyle \lambda _{C}}$ соответствующих частиц, и промежутков времени, малых по сравнению с ${\displaystyle {\frac {\lambda _{C}}{c}}}$.

Нарушения масштабной инвариантности обнаружены при столкновений частиц. В физике элементарных частиц рассматривают несколько альтернативных не масштабно инвариантных скейлингов:

• скейлинг Бьёркена
• скейлинг Фейнмана
• скейлинг Кобы — Нильсена — Олесена (KNO-скейлинг)

• Безмасштабная сеть
• Степенной закон

• Масштабная инвариантность — статья из Физической энциклопедии
• Zaskulnikov V. M., Open statistical ensemble: new properties (scale invariance, application to small systems, meaning of surface particles, etc.): arXiv:1004.0896v1
• Мюллер.Х. Скейлинг как фундаментальное свойство собственных колебаний вещества и фрактальная структура пространства-времени: [1]