Матрица Гильберта
В линейной алгебре матрицей Гильберта (введена Давидом Гильбертом в 1894) называется квадратная матрица H с элементами:
Например, матрица Гильберта 5 × 5 имеет вид:
На матрицу Гильберта можно смотреть как на полученную из интегралов:
то есть, как на матрицу Грама для степеней x. Она возникает при аппроксимации функций полиномами методом наименьших квадратов.
Матрицы Гильберта являются стандартным примером плохо обусловленных матриц, что делает их неудобными для вычислений с помощью вычислительно неустойчивых методов. Например, число обусловленности относительно - нормы для вышеприведённой матрицы равно 4.8 · 105.
История
Гильберт (1894) ввёл матрицу Гильберта при изучении следующего вопроса: «Предположим, что I = [a, b] — вещественный интервал. Возможно ли тогда найти ненулевой многочлен P с целочисленными коэффициентами, такой что интеграл
был бы меньше любого заданного числа ε > 0?» Для ответа на данный вопрос Гильберт вывел точную формулу для определителя матриц Гильберта и исследовал их асимптотику. Он пришёл к выводу, что ответ положителен, если длина интервала b − a < 4.
Свойства
- Матрица Гильберта является симметричной положительно определённой матрицей. Более того, матрица Гильберта является вполне положительной матрицей.
- Матрица Гильберта является примером ганкелевой матрицы.
- Определитель матриц Гильберта может быть выражен явно, как частный случай определителя Коши. Определитель матрицы Гильберта n × n равен
где
Уже Гильберт заметил любопытный факт, что определитель матрицы Гильберта является обратным целым числом (см. последовательность A005249 в OEIS). Он следует из равенства
Используя формулу Стирлинга можно установить следующий асимптотический результат:
где an сходится к константе при , где A — постоянная Глейшера-Кинкелина.
- Матрица, обратная к матрице Гильберта, может быть выражена в явном виде через биномиальные коэффициенты:
где n — порядок матрицы. Таким образом, элементы обратной матрицы — целые числа.
- Число обусловленности матрицы Гильберта n × n возрастает как .
Ссылки
- Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica, 18, Springer Netherlands: 155—159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. Перепечатано в Hilbert, David. article 21 // Collected papers (неопр.). — Т. II.
- Beckermann, Bernhard. The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices (англ.) // Numerische Mathematik[англ.] : journal. — 2000. — Vol. 85, no. 4. — P. 553—577. — doi:10.1007/PL00005392.
- Choi, M.-D. Tricks or Treats with the Hilbert Matrix (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1983. — Vol. 90, no. 5. — P. 301—312. — doi:10.2307/2975779. — .
- Todd, John. The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix (англ.) // National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series : journal. — 1954. — Vol. 39. — P. 109—116.
- Wilf, H. S. Finite Sections of Some Classical Inequalities (англ.). — Heidelberg: Springer, 1970. — ISBN 3-540-04809-X.