Матрица Картана

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.

Обобщённая матрица Картана — это квадратная матрица ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ с целыми элементами, такая что

1. Диагональные элементы a_ii = 2.
2. Недиагональные элементы ${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$.
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{ji}=0}$.
4. A может быть записана в виде DS, где D — диагональная матрица, а S является симметричной.

Например, матрицу Картана для G₂ можно разложить следующим образом:

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\;\,\,2&-3\\-1&\;\,\,2\end{smallmatrix}}\right]=\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right]\left[{\begin{smallmatrix}2/3&-1\\-1&\;2\end{smallmatrix}}\right].}$

Третье условие не является независимым и является следствием первого и четвёртого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в разложении является положительно определённой, то говорят, что A является матрицей Картана.

Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементы которой являются скалярными произведениями

${\displaystyle a_{ij}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}}$

(иногда называемыми целыми числами Картана), где r_i — система корней алгебры. Элементы являются целыми ввиду одного из свойств системы корней. Первое условие вытекает из определения, второе — из факта, что для ${\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}$ является корнем, который является линейной комбинацией простых корней r_i и r_j с положительным коэффициентом для r_j, а тогда коэффициент при r_i должен быть неотрицательным. Третье условие верно ввиду симметричности отношения ортогональности. И, наконец, пусть ${\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}$ и ${\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}$. Поскольку простые корни линейно независимы, то S является их матрицей Грама (с коэффициентом 2), а потому является положительно определённой.

И обратно, если дана обобщённая матрица Картана, можно найти соответствующую ей алгебру Ли (см. подробности в статье Алгебра Каца — Муди^[англ.]).

Матрица A размером ${\displaystyle n\times n}$ является разложимой, если существует непустое подмножество ${\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}$ такое, что ${\displaystyle a_{ij}=0}$ для всех ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle j\notin I}$. A является неразложимой, если это условие не выполняется.

Пусть A — неразложимая обобщённая матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все её главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если все её собственные главные миноры положительны и определитель матрицы A равен 0 и что A имеет неопределённый тип в остальных случаях.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют простые группы Ли конечной размерности (типа ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$), в то время как неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли^[англ.] (над некоторыми алгебраически замкнутими полями с характеристикой 0).

Определители матриц Картана простых алгебр Ли даны в таблице.

${\displaystyle A_{n}}$	${\displaystyle B_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 2}$	${\displaystyle C_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 2}$	${\displaystyle D_{n}}$, ${\displaystyle n\geq 4}$	${\displaystyle E_{n}}$, ${\displaystyle n=6,7,8}$	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle G_{2}}$
n+1	2	2	4	9-n	1	1

Другое свойство этого определителя — он равен индексу ассоциированной системы корней, то есть он равен ${\displaystyle |P/Q|}$, где ${\displaystyle P,Q}$ обозначают весовую решётку^[англ.] и корневую решётку соответственно.

В теории модулярных представлений^[англ.] и в более общей теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр, не являющихся полупростыми^[англ.], матрица Картана определяется путём рассмотрения (конечного) множества главных неразложимых модулей^[англ.] и написания композиционных рядов^[англ.] для них в терминах простых модулей, получая матрицу целых чисел, содержащую число вхождений простого модуля.

В М-теории можно представить геометрию как предел двуциклов, которые пересекают друг друга в конечном числе точек, при стремлению площади двуциклов к нулю. В пределе возникает группа локальной симметрии. Матрица индексов пересечения базиса двуциклов, гипотетически, является матрицей Картана алгебры Ли этой группы локальной симметрии^[1].

Это можно объяснить следующим образом: в M-теории имеются солитоны, являющиеся двумерными поверхностями, называемыми мембранами или 2-бранами. 2-браны имеют натяжение и потому стремятся к уменьшению, но они могут быть обёрнуты вокруг двуциклов, предотвращающих схлапывание мембран до нуля.

Можно осуществить компактификацию^[англ.] одной размерности, в которой находятся все двуциклы и их точки пересечения, и взять предел, при котором размерность схлапывается до нуля, тем самым получая понижение по этой размерности. Тогда получаем теорию струн типа IIA как предел M-теории с 2-бранами, оборачивающими двуциклы, теперь представленными как открытые струны, натянутые между D-бранами. Имеется группа локальной симметрии U(1) для каждой D-браны, подобная степеням свободы движения без изменения ориентации. Предел, где двуциклы имеют нулевую площадь, является пределом, где эти D-браны находятся на вершине друг друга.

Открытая струна, натянутая между двумя D-бранами представляет генератор алгебры Ли, и коммутатор двух таких генераторов является третьим генератором, представленным открытой струной, который можно получить путём склеивания рёбер двух открытых струн. Дальнейшие связи между различными открытыми струнами зависит от способа, которым 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть в числе пересечений двуциклов. Таким образом, алгебра Ли зависит полностью от этих чисел пересечения. Связь с матрицей Картана предполагается, потому что она описывает коммутаторы простых корней, которые связаны с двуциклами в выбранном базисе.

Заметим, что генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и той же браной.

• Диаграмма Дынкина
• Исключительная алгебра Йордана^[англ.]
• Фундаментальное представление
• Форма Киллинга
• Простая группа Ли

• William Fulton, Joe Harris. Representation theory: A first course. — Springer-Verlag, 1991. — Т. 129. — С. 334. — (Graduate Texts in Mathematics^[англ.]). — ISBN 0-387-97495-4.
• James E. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. — Springer-Verlag, 1972. — Т. 9. — С. 55—56. — (Graduate Texts in Mathematics^[англ.]). — ISBN 0-387-90052-7.
• Victor G. Kac. Infinite Dimensional Lie Algebras. — 3rd. — 1990. — ISBN 978-0-521-46693-6.
• Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.

• Weisstein, Eric W. Cartan matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.