Матрица Метцлера

Перейти к навигации Перейти к поиску

Матрица Метцлера — матрица, у которой все недиагональные компоненты неотрицательны (больше или равны нулю) — $x_{ij}\geqslant 0$ для любых $i\neq j$ .

Названа в честь американского экономиста Ллойда Метцлера.

Используются при анализе устойчивости дифференциальных уравнений с запаздыванием^[англ.] по времени и положительных линейных динамических систем. Их свойства могут быть получены путем применения свойств неотрицательных матриц к матрицам вида $M+aI$ , где $M$ — матрица Метцлера.

Литература

Berman, Abraham. Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences / Abraham Berman, Robert J. Plemmons. — SIAM, 1994. — ISBN 0-89871-321-8.
Farina, Lorenzo. Positive Linear Systems: Theory and Applications / Lorenzo Farina, Sergio Rinaldi. — New York : Wiley Interscience, 2000.
Berman, Abraham. Nonnegative Matrices in Dynamical Systems / Abraham Berman, Michael Neumann, Ronald Stern. — New York : Wiley Interscience, 1989.
Kaczorek, Tadeusz. Positive 1D and 2D Systems. — London : Springer, 2002.
Luenberger, David. Introduction to Dynamic Systems: Theory, Modes & Applications. — John Wiley & Sons, 1979. — P. 204–206. — ISBN 0-471-02594-1.
Kemp, Murray C. Introduction to Mathematical Economics / Murray C. Kemp, Yoshio Kimura. — New York : Springer, 1978. — P. 102–114. — ISBN 0-387-90304-6.

Похожие исследовательские статьи

<span class="mw-page-title-main">Гохберг, Израиль Цудикович</span>

Изра́иль Цу́дикович Го́хберг — советский молдавский и израильский математик, один из крупнейших теоретиков в области функционального анализа.

Уравнение Линдблада — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную эволюцию матрицы плотности $\text{[math]}$ . Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Витторио Горини, Анжеем Коссаковским, Джорджем Сударшаном и Йёраном Линдбладом.

Индекс Винера — топологический индекс неориентированного графа $\text{[math]}$ , определяемый как сумма длин кратчайших путей $\text{[math]}$ между вершинами графа:

\text{[math]}

Альтернати́вная ма́трица — в линейной алгебре матрица специального вида размерности $\text{[math]}$ , задаваемая с помощью $\text{[math]}$ элементов $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ функций $\text{[math]}$ так, что каждый элемент матрицы $\text{[math]}$ или, в развёрнутом виде:

\text{[math]}

В математике неотрицательная матрица — это матрица, элементы которой больше или равны нулю:

\text{[math]}

В математике класс Z-матриц составляют те матрицы, чьи внедиагональные элементы меньше или равны нулю, то есть элементы Z-матрицы имеют вид:

\text{[math]}

Ле́йба За́лманович Ро́дман — израильский и американский математик, специалист в области теории операторов.

Спектральная теория графов — направление в теории графов, изучающее свойства графов, характеристических многочленов, собственных векторов и собственных значений матриц, связанных с графом, таких, как его матрица смежности или матрица Кирхгофа.

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Крэйгом Трейси и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы.

Симплектическая матрица — это матрица M размера 2n×2n с вещественными элементами, которая удовлетворяет условию

Развёрнутой формой игры называют её представление в виде дерева. Дерево состоит из вершин и соединяющих их рёбер. Вершины подразделяются на терминальные (конечные) и нетерминальные. Каждая нетерминальная вершина характеризуется множеством допустимых ходов и доступной для игрока информацией. Терминальные вершины сообщают о размере выигрыша, получаемого по их достижении.

Двойственность, или принцип двойственности, — принцип, по которому задачи оптимизации можно рассматривать с двух точек зрения, как прямую задачу или двойственную задачу. Решение двойственной задачи даёт нижнюю границу прямой задачи. Однако, в общем случае, значения целевых функций оптимальных решений прямой и двойственной задач не обязательно совпадают. Разница этих значений, если она наблюдается, называется разрывом двойственности. Для задач выпуклого программирования разрыв двойственности равен нулю при выполнении условий регулярности ограничений.

Лемма о малом искажении утверждает, что множество из $\text{[math]}$ точек многомерного пространства можно отобразить в пространство размерности гораздо меньше $\text{[math]}$ таким образом, что расстояния между точками останутся почти без изменений. При этом такое отображение можно найти среди ортогональных проекций.

Неотрицательное матричное разложение (НМР), а также неотрицательное приближение матрицы, это группа алгоритмов в мультивариантном анализе и линейной алгебре, в которых матрица V разлагается на (обычно) две матрицы W и H, со свойством, что все три матрицы имеют неотрицательные элементы. Эта неотрицательность делает получившиеся матрицы более простыми для исследования. В приложениях, таких как обработка спектрограмм аудиосигнала или данных мускульной активности, неотрицательность свойственна рассматриваемым данным. Поскольку задача в общем случае неразрешима, её обычно численно аппроксимируют.

Разрыв двойственности — это разница между прямым и двойственным решениями. Если $\text{[math]}$ является оптимальным значением двойственной задачи, а $\text{[math]}$ является оптимальным значением прямой задачи, то разрыв двойственности равен $\text{[math]}$ . Это значение всегда больше либо равно нулю. Разрыв двойственности равен нулю тогда и только тогда, когда имеет место сильная двойственность. В противном случае разрыв строго положителен, и имеет место слабая двойственность.

Эрмитова нормальная форма — это аналог ступенчатого вида матрицы для матриц над кольцом $\text{[math]}$ целых чисел. В то время, как ступенчатый вид матрицы используется для решения систем линейных уравнений вида $\text{[math]}$ для $\text{[math]}$ , эрмитова нормальная форма может быть использована для решения линейных систем диофантовых уравнений, в которых подразумевается, что $\text{[math]}$ . Эрмитова нормальная форма используется в решении задач целочисленного программирования, криптографии и общей алгебры.

Алгебра Дэффина — Кеммера — Петье — алгебра, образуемая матрицами Дэффина — Кеммера — Петье. В математической физике матрицы Дэффина — Кеммера — Петье используются в уравнении Даффина — Кеммера — Петье, служащим для релятивистски-инвариантного описания элементарных частиц со спином 0 и спином 1 в стандартной модели. ДКП-алгебра также называется «мезонной алгеброй». Введена в науку Ричардом Дэффином, Н. Кеммером и Д. Петье.

M-матрица в математике — это Z-матрица с собственными значениями, действительные части которой неотрицательны. Множество неособых M-матриц является подмножеством класса P-матриц, а также класса обратноположительных матриц. Название M-матрица, по-видимому, первоначально было выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским, который доказал, что если у Z-матрицы все суммы строк положительны, то определитель этой матрицы положителен.

Линейная задача о дополнительности (LCP) — задача математической теории оптимизации, часто возникающая в вычислительной механике и охватывающая хорошо известное квадратичное программирование как частный случай. Задача был предложен Коттлом и Данцигом в 1968 году.

Q-матрица — в математике квадратная матрица, связанная с которой линейная задача о дополнительности LCP(M,q) имеет решение для каждого вектора q.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.