Матрица Сильвестра

Матрица Сильвестра — матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов. Введена английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814—1897).

Пусть даны многочлены

${\displaystyle A(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}}$,

${\displaystyle B(x)=\sum _{i=0}^{m}{b_{i}x^{i}}=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}}$.

Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная матрица ${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$ вида

${\displaystyle S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &\cdots &a_{0}&0&\cdots &0\\0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &\cdots &b_{0}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{m}&\cdots &\cdots &b_{1}&b_{0}&0&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&b_{m}&\cdots &b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}}$.

Количество строк матрицы, содержащих коэффициенты многочлена ${\displaystyle a(x)}$, равно ${\displaystyle m}$, а многочлена ${\displaystyle b(x)}$ — ${\displaystyle n}$. Результант многочленов находится как определитель этой матрицы:

${\displaystyle R(A,B)=\det S_{A,B}}$.

Для многочленов

${\displaystyle A(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$,

${\displaystyle B(x)=b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}$

матрица Сильвестра будет выглядеть так:

${\displaystyle S_{A,B}={\begin{pmatrix}a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\0&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\0&0&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}&0\\0&b_{3}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\end{pmatrix}}}$.

• Матрица Безу^[англ.]

• Weisstein, Eric W. Sylvester Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Application to Elimination Theory