Матрица Тёплица

Перейти к навигации Перейти к поиску

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}

то есть выполняется соотношение:

a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Пример

Матрица 4×5:

M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix}}

Свойства

Две матрицы Тёплица можно сложить за $O(n)$ операций. Матрицу Тёплица можно умножить на вектор за $O(n\log n)$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за $O(n^{2})$ операций.

Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида $Ax=b$ , где $A$ — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время $O(n^{2})$ ^[1]^[2].

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

Примечания

↑ Krishna H., Wang Y.. The Split Levinson Algorithm is Weakly Stable (англ.) // SIAM Journal on Numerical Analysis^[англ.]. — 1993. — Vol. 30, iss. 5. — P. 1498—1508. — doi:10.1137/0730078.
↑ Блейхут Р. Э.. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / Пер. с англ. И. И. Грушко. — М.: Мир, 1989. — 448 с. — ISBN 5-09-001009-2.

Литература

Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения / отв. ред. чл.-корр. АН СССР В. В. Воеводин. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 184 с. Архивировано 26 августа 2017 года.
Gray R. M.. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review // Foundations and Trends in Communications and Information Theory. — 2006. — Vol. 2, № 3. — P. 155—239. — doi:10.1561/0100000006.
Бабенко К. И. О тёплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, вып. 1(247). — С. 171—178.
Иохвидов И. С. Ганкелевы и тёплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория. — М.: Наука, 1974.
Пустыльников Л. Д.. Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, вып. 4(238). — С. 53—84.

Похожие исследовательские статьи

Лине́йная а́лгебра — раздел алгебры, изучающий математические объекты линейной природы: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений. Среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. Теория инвариантов и тензорное исчисление обычно также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нулевому вектору.

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем $\text{[math]}$ , с блоками вида

\text{[math]}

Метод наименьших квадратов (МНК) — математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений, для поиска решения в случае обычных нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.

Определитель Вандермонда — выражение вида

\text{[math]}

Пусть $\text{[math]}$ есть векторное пространство над полем $\text{[math]}$ .

Гессиан функции — симметрическая квадратичная форма, описывающая поведение функции во втором порядке.

Метод Гаусса — Жордана — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Алгоритм Штрассена предназначен для быстрого умножения матриц. Он был разработан Фолькером Штрассеном в 1969 году и является обобщением метода умножения Карацубы на матрицы.

Бло́чная (кле́точная) ма́трица — представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части — блоки (клетки):

\text{[math]}

Теоре́ма Лапла́са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа, которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году, хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу.

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц. Элементы новой матрицы получаются из элементов старых матриц в соответствии с правилами, проиллюстрированными ниже.

Поворот Гивенса — в линейной алгебре линейный оператор поворота вектора на некоторый заданный угол.

Квадратная матрица $\text{[math]}$ порядка $\text{[math]}$ называется ганкелевой матрицей, если на всех диагоналях, перпендикулярных главной, стоят равные элементы:

\text{[math]}

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается $\text{[math]}$ . Результатом является блочная матрица.

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

\text{[math]}

Пространство столбцов матрицы $\text{[math]}$ — это линейная оболочка её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Алгоритм Чанки — это алгоритм, позволяющий решать задачу вычисления определителя матрицы в классе NC. Идея алгоритма состоит в том, чтобы свести исходную задачу к решению системы $\text{[math]}$ относительно вектора $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ — нижнетреугольная матрица, которую можно обратить за время $\text{[math]}$ с использованием $\text{[math]}$ процессоров.

Матричный логарифм — матрица, для которой матричная экспонента равна исходной матрице — обобщение логарифма и в некотором смысле обратная функция матричной экспоненты. Не все матрицы имеют логарифм, но те матрицы, которые имеют логарифм, могут иметь более одного логарифма. Изучение логарифмов матриц приводит к теории Ли, так как если матрица имеет логарифм, то она является элементом группы Ли, а логарифм является соответствующим элементом векторного пространства алгебры Ли.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.