Матрица Хессенберга

Матрицы Хессенберга — разновидность квадратных матриц, обобщающая треугольные матрицы. Названы в честь немецкого математика Карла Хессенберга^[нем.].

Верхняя матрица Хессенберга — это квадратная матрица $H\in \mathbb {C} ^{n\times n},$ у которой все элементы лежащие ниже первой поддиагонали равны нулю, то есть $h_{ij}=0\ \forall i>j+1.$

$H={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}&h_{13}&\cdots &h_{1n}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&\cdots &h_{2n}\\0&h_{32}&h_{33}&\cdots &h_{3n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&h_{nn-1}&h_{nn}\end{pmatrix}}$

Аналогично определяется нижняя матрица Хессенберга, как квадратная матрица, при транспонировании которой получается верхняя матрица Хессенберга:

$H={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}&0&\cdots &0\\h_{21}&h_{22}&h_{23}&\ddots &\vdots \\h_{31}&h_{32}&h_{33}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &h_{nn-1}\\h_{n1}&h_{n2}&h_{n3}&\cdots &h_{nn}\end{pmatrix}}$

Матрица, являющаяся одновременно и верхней, и нижней матрицами Хессенберга, трёхдиагональна.

Матрицы Хессенберга получаются в методах подпространства Крылова в процессе построения ортогональных базисов, а также в задаче на нахождение собственных значений матрицы QR-методом.

Похожие исследовательские статьи

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задаёт размер матрицы. Матрицу можно также представить в виде функции двух дискретных аргументов. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

<span class="mw-page-title-main">Система линейных алгебраических уравнений</span>

Система линейных алгебраических уравнений — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

Жорданова матрица — квадратная блочно-диагональная матрица над полем $\text{[math]}$ , с блоками вида

\text{[math]}

Вронскиа́н, или определитель Вронского, — функция $\text{[math]}$ , определённая для системы функций $\text{[math]}$ на промежутке $\text{[math]}$ , дифференцируемых $\text{[math]}$ -раз. Задаётся как определитель следующей матрицы:

\text{[math]}

Метод Гаусса — Жордана — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана.

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Присоединённая матрица — матрица $\text{[math]}$ , составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, так как понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

Бло́чная (кле́точная) ма́трица — представление матрицы, при котором она рассекается вертикальными и горизонтальными линиями на прямоугольные части — блоки (клетки):

\text{[math]}

S-параметры — элементы матрицы рассеяния многополюсника, описывающего обычно радиотехническое устройство.

В линейной алгебре, фробениусовой нормальной формой линейного оператора А называется каноническая форма его матрицы, соответствующая минимальному разложению линейного пространства в прямую сумму инвариантных относительно А подпространств, которые могут быть получены как линейная оболочка некоторого вектора и его образов под действием А. Она будет блочно-диагональной матрицей, состоящей из фробениусовых клеток вида

\text{[math]}

Умноже́ние ма́триц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведе́нием ма́триц. Элементы новой матрицы получаются из элементов старых матриц в соответствии с правилами, проиллюстрированными ниже.

Поворот Гивенса — в линейной алгебре линейный оператор поворота вектора на некоторый заданный угол.

Матрица сопротивлений — матрица, применяемая для описания устройств СВЧ, связывающая линейной зависимостью комплексные амплитуды напряжений и силы тока в клеммных плоскостях эквивалентного многополюсника:

\text{[math]}

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается $\text{[math]}$ . Результатом является блочная матрица.

<span class="mw-page-title-main">Группа Гейзенберга</span>

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида

\text{[math]}

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

\text{[math]}

Перъединичная матрица — квадратная матрица, все элементы побочной диагонали которой равны 1, а остальные — 0 :

\text{[math]}

;

\text{[math]}

;

\text{[math]}

Матрица Гурвица или матрица Рауса – Гурвица или матрица устойчивости — структурированная квадратная матрица, построенная из коэффициентов вещественного полинома.

Определители Гурвица — определители, являющиеся минорами матрицы Гурвица, которые были введены Адольфом Гурвицем (1895) в качестве критерия, что все корни некоторого многочлена имеет отрицательную вещественную часть.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.