Матрица перехода

В линейной алгебре базис векторного пространства размерности $n$ ^[1] — это последовательность из $n$ векторов $(\alpha _{1},...,\alpha _{n})$ , таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто есть необходимость работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода, или замены.

Определение

Если векторы $\mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}}$ выражаются через векторы $\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}}$ как:

\mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{21}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n1}\mathbf {a} _{n}

.

\mathbf {b} _{2}=\alpha _{12}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{n2}\mathbf {a} _{n}

.

\ldots

.

\mathbf {b} _{n}=\alpha _{1n}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2n}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}

.

то матрица перехода от базиса $(\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}} )$ к базису $(\mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}}$ ) будет:

{\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&...&\alpha _{1n}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}&...&\alpha _{2n}\\...&...&...&...\\\alpha _{n1}&\alpha _{n2}&...&\alpha _{nn}\end{pmatrix}}

Использование

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ , мы получаем тот же вектор, выраженный через базис $b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ .

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

Матрицы наиболее распространённых преобразований
	В двумерных координатах	В однородных двумерных координатах	В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:	${\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
Поворот При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве	По часовой стрелке ${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	Относительно OX на угол φ ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi &0\\0&\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$	Относительно OY на угол ψ ${\begin{bmatrix}\cos \psi &0&\sin \psi &0\\0&1&0&0\\-\sin \psi &0&\cos \psi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
	Против часовой стрелки ${\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}$		Относительно OZ на угол χ ${\begin{bmatrix}\cos \chi &-\sin \chi &0&0\\\sin \chi &\cos \chi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$
Перемещение При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.	В неоднородных координатах не имеет матричного представления.	${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Свойства

Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
$P_{e\rightarrow e'}^{-1}=P_{e'\rightarrow e}$

Пример поиска матрицы

Найдём матрицу перехода от базиса $a_{1}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}},a_{2}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\2\end{pmatrix}},a_{3}={\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}}$ к единичному базису $b_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},b_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},b_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ путём элементарных преобразований

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\\2&-4&1&0&1&0\\-1&2&0&0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\\0&1&0&1&-5&-9\\0&0&1&0&1&2\end{array}}\right)$ следовательно $P_{a\rightarrow b}={\begin{pmatrix}2&-10&-19\\1&-5&-9\\0&1&2\end{pmatrix}}$