Медианный фильтр

Медиа́нный фи́льтр — один из видов цифровых фильтров, широко используемый в цифровой обработке сигналов и изображений для уменьшения уровня шума. Медианный фильтр является нелинейным КИХ-фильтром.

Значения отсчётов внутри окна фильтра сортируются в порядке возрастания (убывания); и значение, находящееся в середине упорядоченного списка, поступает на выход фильтра. В случае чётного числа отсчётов в окне выходное значение фильтра равно среднему значению двух отсчётов в середине упорядоченного списка. Окно перемещается вдоль фильтруемого сигнала, и вычисления повторяются.

Медианная фильтрация — эффективная процедура обработки сигналов, подверженных воздействию импульсных помех.

Ниже рассматривается пример применения медианного фильтра для одномерного сигнала с окном размером в три отсчёта ко входному массиву x (искусственно введённые продублированные значения показаны полужирно):

x = [2 80 6 3]

• y[1] = медиана[2 2 80] = 2
• y[2] = медиана[2 80 6] = медиана[2 6 80] = 6
• y[3] = медиана[80 6 3] = медиана[3 6 80] = 6
• y[4] = медиана[6 3 3] = медиана[3 3 6] = 3

и в итоге:

y = [2 6 6 3] — выход медианного фильтра

Медианный фильтр ${\displaystyle M}$ из входящего сигнала ${\displaystyle C}$ создаёт медианный образ сигнала ${\displaystyle {\widetilde {C}}}$. Входящий сигнал ${\displaystyle C}$ подаётся на медианный фильтр ${\displaystyle M:C\rightarrow {\widetilde {C}}}$.
В медианном фильтре сначала производится выбор значений, попавших в окно фильтра при нахождении окна в точке ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {\hat {O}}(x):C\rightarrow O}$.
Далее производится сортировка значений окна ${\displaystyle O}$ функцией сравнения значений ${\displaystyle \Phi }$ и строится упорядоченное множество ${\displaystyle \Phi (O)\rightarrow {\widetilde {O}}}$, а после выбирается медианное значение (медиана): ${\displaystyle m({\widetilde {O}})\rightarrow o_{m}}$ и записывается в ${\displaystyle {\widetilde {C}}(x)=o_{m}}$.

Таким образом, медианный фильтр ${\displaystyle M:C\rightarrow {\widetilde {C}}}$ является последовательностью трёх действий:

1. Выбор значений, попавших в окно фильтра ${\displaystyle {\hat {O}}(x):C\rightarrow O}$.
2. Сортировка значений окна ${\displaystyle \Phi (O)\rightarrow {\widetilde {O}}}$.
3. Выбор из ${\displaystyle {\widetilde {O}}}$ медианного значения ${\displaystyle m({\widetilde {O}})\rightarrow o_{m}}$ и запись его в медианный образ сигнала ${\displaystyle {\widetilde {C}}}$ в точку с координатой ${\displaystyle x}$,  ${\displaystyle {\widetilde {C}}(x)=o_{m}}$.
   

Эти действия повторяются для каждой точки входящего сигнала.

Алгоритм примитивного 2D Медианного фильтра выглядит примерно так:

   allocate outputPixelValue[image width][image height]
   edgex := (window width / 2) rounded down
   edgey := (window height / 2) rounded down
   for x from edgex to image width - edgex
       for y from edgey to image height - edgey
           allocate colorArray[window width][window height]
           for fx from 0 to window width
               for fy from 0 to window height
                   colorArray[fx][fy] := inputPixelValue[x + fx - edgex][y + fy - edgey]
           sort all entries in colorArray[][]
           outputPixelValue[x][y] := colorArray[window width / 2][window height / 2]

Особенности этого алгоритма:

• Применяется лишь к одному цветовому каналу,
• Не применяется к крайним пикселям.

• Шум
• Медиана
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• Гауссово размытие
• Lulu-сглаживание

• Медианный фильтр (англ.)
• Результат применения медианного фильтра