Медианта (математика)

Медиантой двух дробей ${\frac {a}{b}}$ и ${\frac {c}{d}}$ с положительными знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель — сумме знаменателей двух данных дробей:

{\frac {a+c}{b+d}}.

Свойства

Медианта двух дробей заключена между ними, то есть

если

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

, то

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}

.

Доказательство

Это свойство является следствием соотношений

{\frac {a+c}{b+d}}-{\frac {a}{b}}={{bc-ad} \over {b(b+d)}}={d \over {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0

и

{\frac {c}{d}}-{\frac {a+c}{b+d}}={{bc-ad} \over {d(b+d)}}={b \over {b+d}}\left({\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}\right)>0.

Если записать 2 дроби, а потом несколько раз между каждыми 2 соседними дробями их медианту, то получится ряд Фарея.

История

Понятие медианты двух дробей введено А.Я.Хинчиным^[1] в теории цепных дробей для целей лучшего уяснения взаимного расположения и закона последовательного образования промежуточных дробей. Однако, в теории цепных дробей, для исследования промежуточных дробей, термин «медианта» не прижился^[2]. В других математических науках, например, в математическом анализе^[3] и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений^[4] свойства медианты n отношений действительных чисел использовались при доказательстве некоторых положений, хотя само определение понятия медианты не было дано. Косвенно, наиболее широкое использование медианты n отношений действительных чисел нашло в прикладной математике, в частности в математической статистике.^[5]^[6]^[7] Но определение медианты в этих работах также не было дано. Морис Клайн^[8], по сути, заново «открыл» медианту, предложив «футбольную арифметику» сложения дробей. Такое сложение М.Клайн использовал для определения средней результативности футбольного игрока нападающего за две игры. Им также рассмотрены случаи определения эффективности торговли и средней скорости автомобиля на основе скоростей на двух участках пути.

В настоящее время медианта используется в демографии^[9] и биологии^[10].

Примеры использования

Литература и примечания

↑ Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Физматлит, 1961. 112 с.
↑ Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. – М.: Мир, 1970. – 104 с.
↑ Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.-Л.: Гостехлит, 1947. – 680 с.
↑ Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматлит, 1959. – 468с.
↑ Сэлтон Г.А. Автоматическая обработка, хранение и поиск информации. – М.: Сов. радио, 1973. – 560 с.
↑ Шварц Г. Выборочный метод. Руководство по применению статистических методов оценивания. – М.: Статистика, 1978. – 213 с.
↑ Крэйн М., Лемуан О. Введение в регенеративный метод анализа моделей. – М.: Наука, 1982. – 104 с.
↑ Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1984. – 434 с.
↑ Сёмкин Б.И., Соболева Т.А. Оценка темпов изменения общей численности населения городов Приморского края // География и природные ресурсы. №4. 2005. С. 118-123.
↑ Сёмкин Б.И., Горшков М.В., Варченко Л.И. Об изменениях содержания воды в однолетних побегах хвойных древесных растений в умеренной климатической зоне // Сибирский экол. журн. 2008. №4. Т. 15. С. 537–544.