Мера Малера

Мера Малера ${\displaystyle M(p)}$ для многочлена ${\displaystyle p(z)}$ с комплексными коэффициентами определяется как

${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},}$

где ${\displaystyle p(z)}$ разлагается в поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ на множители

${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).}$

Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используя формулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднему геометрическому чисел ${\displaystyle |p(z)|}$ для ${\displaystyle z}$ на единичной окружности (т.е. ${\displaystyle |z|=1}$):

${\displaystyle M(p)={\color {Green}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Green}\ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).}$

В более широком смысле мера Малера для алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ определяется как мера Малера минимального многочлена от ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. В частности, если ${\displaystyle \alpha }$ является числом Пизо или числом Салема, то мера Малера равна просто ${\displaystyle \alpha }$.

Мера Малера названа в честь математика Курта Малера^[англ.].

• Мера Малера является мультипликативной: ${\displaystyle \forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),}$ где ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности.
• ${\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }}$, где среднее степенное ${\displaystyle \|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }}$ является нормой ${\displaystyle L_{\tau }}$ для многочлена ${\displaystyle p}$ ^[1].
• (Теорема Кронекера^[англ.]) Если ${\displaystyle p}$ является неприводимым нормированным (старший коэффициент — 1) целочисленным многочленом с ${\displaystyle M(p)=1}$, то либо ${\displaystyle p(z)=z}$, либо ${\displaystyle p}$ является круговым многочленом.
• (Гипотеза Лемера^[англ.]) Если существует константа ${\displaystyle \mu >1}$, такая, что если ${\displaystyle p}$ является неприводимым целочисленным многочленом, то либо ${\displaystyle M(p)=1}$, либо ${\displaystyle M(p)>\mu }$.
• Мера Малера нормированного целого многочлена является числом Перрона.

Мера Малера ${\displaystyle M(p)}$ для многочлена с несколькими переменными ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ определяется аналогичной формулой^[2].

${\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$

Эта мера сохраняет все три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.

Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от нескольких переменных связана со специальными значениями дзета-функций и ${\displaystyle L}$-функций. Например, в 1981 Смит доказал формулы^[3]

${\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),}$

где ${\displaystyle L(\chi _{-3},s)}$ является L-функцией Дирихле, и

${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)}$ ,

где ${\displaystyle \zeta }$ является дзета-функцией Римана. Здесь ${\displaystyle m(P)=\log {M(P)}}$ называется логарифмической мерой Малера.

По определению мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. гипотезу Лемера^[англ.]). Если ${\displaystyle p}$ обращается в ноль на торе ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$, то сходимость интеграла, определяющего ${\displaystyle M(p)}$, не очевидна, но известно, что ${\displaystyle M(p)}$ сходится и равно пределу меры Малера от одной переменной^[4], что было высказано в виде гипотезы Бойдом^{[англ.][5][6]}.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ обозначает целые числа, определим ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}}$. Если ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ является многочленом от ${\displaystyle N}$ переменных и ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$, то пусть многочлен ${\displaystyle Q_{r}(z)}$ от одной переменной определяется как

${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}}),}$

а ${\displaystyle q(r)}$ — как

${\displaystyle q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}$,

где ${\displaystyle H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$.

Теорема (Лоутона): пусть ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами — тогда верен следующий предел (даже если нарушить условие ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$):

${\displaystyle \lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$

Бойд предложил утверждение, более общее, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая теорема Кронекера, которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, может рассматриваться как описание многочленов одной переменной, мера Малера для которых в точности равна 1, и на то, что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменных^[6].

Пусть расширенный круговой многочлен будет определяться как многочлен вида

${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$

где ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ — круговой многочлен степени m, ${\displaystyle v_{i}}$ — целые числа, а ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ выбран минимальным, так что ${\displaystyle \Psi (z)}$ является многочленом от ${\displaystyle z_{i}}$. Пусть ${\displaystyle K_{n}}$ — множество многочленов, являющихся произведением одночленов ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$ и расширенного кругового многочлена. Тогда получается следующая теорема.

Теорема (Бойда): пусть ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ является многочленом с целыми коэффициентами — тогда ${\displaystyle M(F)=1,}$ только когда ${\displaystyle F}$ является элементом ${\displaystyle K_{n}}$.

Это натолкнуло Бойда на мысль рассматреть следующие множества:

${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$

и объединение ${\displaystyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$. Он выдвинул более «продвинутую» гипотезу^[5], что множество ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ является замкнутым подмножеством ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата Смита^{[прояснить]} вытекает, что ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$, Бойд позже высказал гипотезу, что

${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.}$

• Норма Бомбиери^[англ.]
• Высота многочлена

• Mahler Measure on MathWorld
• Jensen's Formula on MathWorld