Мероморфная функция

Мероморфная функция (от греч. μέρος — «часть» и μορφή — «форма») одного комплексного переменного в области ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} }$ (или на римановой поверхности ${\displaystyle P}$) — голоморфная функция ${\displaystyle f}$ в области ${\displaystyle P\backslash \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$, которая в каждой особой точке ${\displaystyle a_{i}}$ имеет полюс (таким образом ${\displaystyle a_{i}}$ — изолированная точка множества ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$, не имеющего предельных точек в ${\displaystyle P}$, и ${\displaystyle \lim _{z\to a_{i}}|f(z)|=\infty }$).

Вещественная мероморфная функция задается тройкой ${\displaystyle (P,\tau ,f),}$ где ${\displaystyle P}$ является компактной римановой поверхностью, ${\displaystyle \tau :P\to P}$ - антиголоморфная инволюция (инволюция комплексного сопряжения), а ${\displaystyle f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}}$ есть отображение на сферу Римана (${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$). При этом она должна удовлетворять условию ${\displaystyle \tau \circ f={\overline {f(z)}}}$ при всех ${\displaystyle z\in P.}$ Всякая вещественная функция строится по некоторой вещественной алгебраической функции: любой полином с вещественными коэффициентами ${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},}$ ${\displaystyle a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,}$ является вещественной мероморфной функцией. Множество ${\displaystyle P^{\tau }\subset P}$ неподвижных точек инволюции ${\displaystyle \tau }$ состоит из простых попарно непересекающихся замкнутых контуров (овалов). Если ${\displaystyle P\setminus P^{\tau }}$ является связным (несвязным), то кривая называется неразделяющей (разделяющей). Вещественная мероморфная функция ${\displaystyle f}$ переводит овал ${\displaystyle a}$ вещественной кривой ${\displaystyle (P,\tau )}$ в контур ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}\subset S,}$ где ${\displaystyle {\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .}$ Степень отображения ${\displaystyle f(a)\subset {\mathbb {R} }}$ определяется как ${\displaystyle f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R}} .}$ Индекс функции ${\displaystyle (P,\tau ,f)}$ на овале ${\displaystyle a\in P^{\tau }}$ - абсолютное значение степени ${\displaystyle f|_{a}.}$

Пространство вещественных мероморфных функций состоит из счетного числа компонент связности, где каждая компонента является незамкнутым конечномерным вещественным многообразием и выделяется заданием целочисленных топологических инвариантов. Например, инвариантами являются степень ${\displaystyle n}$ отображения ${\displaystyle f}$ и род ${\displaystyle g}$ кривой ${\displaystyle P.}$ Топологический тип функции ${\displaystyle (P,\tau ,f)}$ - набор чисел (${\displaystyle g,n,\varepsilon \,|\,I}$), где ${\displaystyle n}$ - число листов накрытия ${\displaystyle f,}$ множество ${\displaystyle I=(i_{1},...,i_{k})}$ - совокупность индексов функции ${\displaystyle (P,\tau ,f)}$ на овалах, а ${\displaystyle \varepsilon }$ - число, равное 1 для разделяющих кривых, а 0 - для неразделяющих. ^[1]

Совокупность ${\displaystyle M(P)}$ всех мероморфных функций на области ${\displaystyle P}$ является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

• Отношение ${\displaystyle \varphi /\psi }$ любых голоморфных в ${\displaystyle P}$ функций, ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$, является мероморфной функцией в ${\displaystyle P}$.
• Обратно, всякая мероморфная функция в области ${\displaystyle P\subset \mathbb {C} }$ (и на некомпактной римановой поверхности ${\displaystyle P}$) представляется в виде ${\displaystyle \varphi /\psi }$, где ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ голоморфны и не имеют общих нулей в ${\displaystyle P}$.

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле ${\displaystyle M(P)}$ совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в ${\displaystyle P}$.

• Всякая мероморфная функция ${\displaystyle f\in M(P)}$ определяет непрерывное отображение ${\displaystyle f}$ области ${\displaystyle P}$ в сферу Римана ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {C} P^{1}}$.
• Обратно, всякое голоморфное отображение ${\displaystyle f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$, определяет мероморфную функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle P}$. При этом множество полюсов ${\displaystyle f}$ совпадает с дискретным множеством ${\displaystyle f^{-1}(\infty )}$.

Таким образом, мероморфные функции одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями на сферу Римана.

• На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами ${\displaystyle \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}}$ и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
• На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

• Вычет

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.