Метод конечных объёмов

Метод конечных объёмов (в русскоязычной литературе метод контрольных объёмов^[1]) — численный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин (например, скорости, давления), описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определённым законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных.

Для любой величины ${\displaystyle \phi }$, в каждой точке ${\displaystyle O(x,y,z,t)}$ пространства, окруженной некоторым замкнутым конечным объёмом, в момент времени ${\displaystyle t}$ существует следующая зависимость: общее количество величины ${\displaystyle \phi }$ в объёме может изменяться за счет следующих факторов:

• транспорт количества этой величины через поверхность, ограничивающую контрольный объём — поток;
• генерация (уничтожение) некоторого количества величины ${\displaystyle \phi }$ внутри контрольного объёма — источники (стоки).

Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объёме.

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {U} \varphi )-\nabla \cdot (D_{\varphi }\nabla \varphi )+\varphi =S_{\varphi }}$,

где:

• ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}}$ — скорость изменения некоторой физической величины ${\displaystyle \varphi }$,
• ${\displaystyle \varphi }$ — реактивное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины ${\displaystyle \varphi }$,
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {U} \varphi )}$ — конвективное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины ${\displaystyle \varphi }$,
• ${\displaystyle \nabla \cdot (D_{\varphi }\nabla \varphi )}$ — диффузное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины ${\displaystyle \varphi }$,
• ${\displaystyle S_{\varphi }}$ — источниковое слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины ${\displaystyle \varphi }$.

Этот метод применяется, в частности, при моделировании задач гидрогазодинамики в свободном пакете OpenFOAM, а также коммерческих кодах, таких как: ANSYS, Comsol (англ.), FlowVision.

• Метод Годунова

• Е.М. Смирнов, Д.К. Зайцев МЕТОД КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ, Научно технические ведомости СПбГПУ, 2’ 2004
• Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах = Computation of conduction and Duct Flow Heat Transfer: Пер. с англ. — М.: Издательство МЭИ, 2003. — 312 с.

• Механика сплошных сред
• Метод объёма жидкости