Метод неопределённых коэффициентов
Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.
Применения
Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.
Разложение дроби на простейшие
Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на простейшие дроби.
Пусть и — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена меньше степени многочлена . Будем полагать, что степень многочлена равна , коэффициент при старшем члене многочлена равен 1, а , ― различные корни многочлена с кратностями , соответственно. Отсюда имеем
Функция представима, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей
где ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно ). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно .
Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если имеет только некратные корни , , то есть все и
После умножения на последнего равенства и подстановки непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента
- .
Интегрирование
При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида
где многочлен степени . Тогда
После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена степени , а также [1].
Обращение ряда
Если функция , не равная нулю при разложена в ряд Маклорена:
то существует ряд Маклорена противоположной функции:
Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.
Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:
При этом используется соотношение , то есть весь ряд для подставляется вместо в ряд для .
Сумма степеней
В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: . Будем искать ответ в виде многочлена -ой степени от . Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Пример. Ищем в виде .
По определению , а также . Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:
откуда получаем ответ:
Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения
В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения , здесь же ищется решение уравнения .
Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.
Примечания
- ↑ Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М.: Высшая школа, 1970. — Т. 1. — С. 369—370. — 50 000 экз.