Метод фиктивных областей

Метод фиктивных областей — метод приближённого решения задач математической физики в геометрически сложных областях, основанный на переходе к задаче в геометрически более простой области (как правило, многомерный параллелепипед), целиком содержащей исходную.^[1] Преимуществом этого метода является удобство составления универсальных программ для численного решения широкого класса краевых задач математической физики, которые перестают зависеть от конкретного вида рассматриваемой области.^[2] Недостатком этого метода является низкая точность приближенного решения^[3] и сложность создания разностных схем и численного решения задач.^[2]

Рассмотрим задачу нахождения неизвестной функции ${\displaystyle u(x)}$ исходя из дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}$

с краевыми условиями:

${\displaystyle u(0)=0,u(1)=0}$

Для решения задачи рассмотрим фиктивную область ${\displaystyle 0<x<2}$. Обозначим как ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ приближённое решение задачи в фиктивной области. Здесь ${\displaystyle \epsilon }$ - малый параметр.

В этом случае ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ является решением дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}$

Ступенчатый коэффициент ${\displaystyle k^{\epsilon }(x)}$ вычисляется следующим образом:

${\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}$

Правую часть уравнения (2) представим в виде:

${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)}$

Граничные условия для уравнения (2):

${\displaystyle u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0}$

При ${\displaystyle x=1}$ необходимо задать условия "сшивки":

${\displaystyle [u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

где обозначение ${\displaystyle [\cdot ]}$ означает "разрыв":

${\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)}$

Решение поставленной задачи имеет вид:

${\displaystyle u_{\epsilon }(x)={\begin{cases}x(1+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}\epsilon ^{2}-x),&0<x<1\\(2-x)(c_{0}\epsilon ^{2}(x-1)+{\frac {c_{0}+1}{\epsilon ^{2}+1}}),&1<x<2\end{cases}}}$

Сравнивая его с точным решением уравнения (1) ${\displaystyle u(x)=x(1-x)}$, получаем оценку ошибки:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}$

В этом случае ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ является решением дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}$

Здесь ${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)}$ определено как в уравнении (3), коэффициент ${\displaystyle c^{\epsilon }(x)}$ вычисляются как:

${\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}}$

Граничные условия для уравнения (4) такие же как и для уравнения (2).

Условия сопряжения в точке ${\displaystyle x=1}$:

${\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

Ошибка решения:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}$

• Вабищевич П. Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. — М.: МГУ, 1991. — 156 с. — ISBN 5-211-01578-9.