Метод функции Грина
Метод функции Грина — метод решения линейного дифференциального уравнения, позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.
Решение через функцию Грина применяется в краевых задачах для уравнений эллиптического типа[1].
В физике метод находит применение при решении задачи об отклике физической системы на выводящее её из равновесия внешнее воздействие. В соответствии с принципом причинности, состояние системы полностью определяется её предысторией. Таким образом, для поиска состояния системы в данный момент требуется решить эволюционную задачу и возникающие в ней дифференциальные уравнения.
Если отклонение системы от состояния равновесия мало, то малы и нелинейные члены соответствующего разложения, значит реакцию системы можно изучать в рамках линейных уравнений. Поскольку основное состояние большинства рассматриваемых систем не меняется со временем, то возникающие уравнения имеют постоянные коэффициенты.
Уравнение с постоянными коэффициентами
Одномерное уравнение n-го порядка
Если для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора:
задано уравнение:
- ,
то функция Грина оператора определяется решением:
где — дельта-функция Дирака. Так как не зависят от времени, вид уравнения при замене не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: .
Согласно свойствам дельта-функции, верно равенство:
- .
Тогда, при рассмотрении в предположении, что начальные условия за бесконечное время забываются, непосредственной подстановкой проверяется, что решением уравнения будет:
Функция Грина таким образом определяет для момента времени влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени .
Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) заданного уравнения. Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть при .
Это ограничение обозначается с помощью функции Хевисайда и функция Грина ищется в виде:
- ,
где является решением заданного однородного уравнения и зависит от постоянных.
В случае, когда не вырожден, будет иметь вид:
- .
В силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона:
Это приводит к:
- .
Так как члены, удовлетворяющие заданному однородному уравнению, сокращаются, то:
- .
В этом случае уже возможно найти функцию Грина однозначно.
Если полагать, что для времени , когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется:
- .
Тогда:
- ,
лишь последнее слагаемое здесь является вынужденным решением, вызываемым внешним воздействием.
Многомерное уравнение 1-го порядка
Ниже рассматривается линейное уравнение для векторной величины , где — матрица, определяющая динамику системы:
- .
К такому виду сводится рассмотренное уравнение -го порядка для скалярной величины . Для этого следует положить, что:
для начинающейся с единицы нумерации компонент.
Аналогично предыдущему случаю, решение записывается в виде:
- .
Функция Грина, удовлетворяющая условию:
- ,
ищется, в свою очередь, в виде:
- .
Экспоненту от матрицы принято рассматривать при переходе к собственному базису оператора , где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).
Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа эволюционного уравнения позволяет свести процедуру решения к интегрированию в комплексной плоскости.
Преобразование для для полиномиального оператора запишется
Где , а — соответствующий оператору многочлен, содержащий вместо n-й производной n-ю степень s.
Достаточно рассмотреть выражение при n-й производной функции G
Где — малый параметр, существенный для дельта-функции в правой части рассматриваемого уравнения
После взятия по частям, с учётом того, что внеинтегральные члены на границах равны нулю (на нижней в силу причинности), интеграл запишется
Повторение процедуры n раз приводит к
Тогда, по свойству преобразования Лапласа для свёртки:
Где — преобразования Лапласа для соответственно.
После обратного преобразования:
Интеграл, в силу возможности сдвигать контур влево, в частности, считается использованием теоремы о вычетах. Таким образом, преобразование Лапласа указывает прямой путь к нахождению вынужденного решения. Описанное справедливо и для многомерного уравнения, с тем замечанием, что придётся использовать матричную функцию.
Неоднородное по времени уравнение
Если система не находится в равновесии, то её состояние меняется со временем, что выражается во временной зависимости коэффициентов. Это значит, что функция Грина зависит от обоих переменных:
и решение для:
перепишется:
- .
При постоянном уравнение приобретает прежний вид.
В случае векторного уравнения:
матрицы в различные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, поэтому решение запишется с помощью хронологически упорядоченной экспоненты[англ.]:
- .
Примечания
Литература
- Колоколов И.В., Лебедев В. В. Избранные главы математической физики. с. 6-11, 13
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.