Метрика Титса

Метрика Титса — метрика определённого типа на абсолюте пространства Адамара. Названа в честь Жака Титса.

Пусть ${\displaystyle X}$ — пространство Адамара. Обозначим через ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ его абсолют, то есть множество лучей исходящих из одной точки ${\displaystyle p}$.

Для двух лучей ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ из ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ определяется угол ${\displaystyle \measuredangle _{\infty }(\alpha ,\beta )}$ как предел угла сравнения в треугольнике ${\displaystyle [p\,\alpha (t)\,\beta (t)]}$ при ${\displaystyle t\to \infty }$, то есть угла в плоского треугольника с теми же сторонами, что у ${\displaystyle [p\,\alpha (t)\,\beta (t)]}$ при вершине соответствующей ${\displaystyle p}$.

Угол ${\displaystyle \measuredangle _{\infty }}$ определяет так называемую угловую метрику на ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$, со значениями в интервале ${\displaystyle [0,\pi ]}$.

Внутренняя метрика ассоциированная с ${\displaystyle \measuredangle _{\infty }}$ называется метрикой Титса; она принимает значения в интервале ${\displaystyle [0,\infty ]}$.

• Метрика Титса совпадает угловой метрикой на парах точек с расстоянием меньше ${\displaystyle \pi }$
• Метрика не зависит от выбора точки ${\displaystyle p}$.
• Абсолют ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ можно также определить как фактор пространства всех лучей в ${\displaystyle X}$ по параллельности, то есть отношению эквивалентности на лучах определяемое как ${\displaystyle \alpha \parallel \beta }$ если расстояния ${\displaystyle |\alpha (t)-\beta (t)|_{X}}$ ограничены при всех значениях ${\displaystyle t}$.

• Для евклидова пространства, аболют с метрикой Титса изометричен единичной сфере.
• Для пространства Лобачевского метрика Титса дискретна, расстояния между любыми различными точками равно ${\displaystyle \infty }$.

• Абсолют ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ с метрикой Титса является CAT(1) пространством^[англ.].
• Абсолют произваедения двух пространств Адамара ${\displaystyle \partial _{\infty }(X\times Y)}$ с метрикой Титса изометричен сферическому джойну соответствующих абсолютов ${\displaystyle (\partial _{\infty }X)\star (\partial _{\infty }Y)}$ с метриками Титса.