Метрическое дерево

Метрическое дерево (или $\mathbb {R}$ -дерево) — определённый тип метрических пространств. Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова, то есть все их треугольники являются ноль-тонкими.

Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей.

Определение

Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника $[xyz]$ найдется точка $p$ , лежащая на всех трёх геодезических $[xy],[yz],[zx]$ .

Свойства

Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек $p,q,x,y\in X$ выполняется следующее неравенство:
$|p-q|_{X}+|x-y|_{X}\leqslant \max\{\,|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}\,\},$

где

|p-q|_{X}

обозначает расстояние между точками

p

q

в метрическом пространстве

X

Если $X_{n}$ $X_{n}$ — последовательность $\delta _{n}$ $\delta _{n}$ -гиперболических пространств, и $\delta _{n}\to 0$ $\delta _{n}\to 0$ при $n\to \infty$ $n\to \infty$ , то ультрапредел $X_{n}$ $X_{n}$ является метрическим деревом.
- В частности, конус на бесконечности $\delta$ -гиперболического пространства является метрическим деревом.

Примеры

Если $X$ — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф $X$ — дерево (то есть не имеет циклов).
Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.

Похожие исследовательские статьи

Евкли́дово простра́нство в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.

Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами. Является центральным понятием геометрии и топологии.

Де́льта-фу́нкция — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин, сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Критерий Коши — ряд утверждений в математическом анализе:

Критерий сходимости последовательности — на котором основывается определение полного метрического пространства.
Критерий сходимости числовых рядов.
Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов.
Критерий Коши или число Коши — критерий подобия в механике сплошных сред.

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией $\text{[math]}$ в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции $\text{[math]}$ , являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

В теории узлов восьмёрка — это единственный узел с числом пересечений четыре. Это наименьшее возможное число пересечений после трилистника и тривиального узла. Восьмёрка является простым узлом. Впервые рассмотрен Листингом в 1847 году.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное тензорное поле ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в касательном пространстве. Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Ориента́ция — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические объекты, многообразия, векторные расслоения и так далее.

Преобразование Лежандра для заданной функции $\text{[math]}$ — это построение функции $\text{[math]}$ , двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве $\text{[math]}$ , её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве $\text{[math]}$ , то есть на пространстве линейных функционалов на пространстве $\text{[math]}$ .

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Хромати́ческое число графа — минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета.

Гиперболичность в смысле Громова или $\text{[math]}$ -гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Произведение Громова — расстояние, на котором две геодезические стартующих в одной точке начинают существенно расходиться.

Четвёртая проблема Гильберта в списке проблем Гильберта касается базовой системы аксиом геометрии. Проблема состоит в том, чтобы

«Определить все с точностью до изоморфизма реализации систем аксиом классических геометрий, если в них опустить аксиомы конгруэнтности, содержащие понятия угла, и пополнить эти системы аксиомой неравенства треугольника».

Теорема об уголках — доказанный результат в области аддитивной комбинаторики, утверждающий присутствие некой упорядоченной структуры, называемой уголком, в достаточно больших двумерных множествах любой фиксированной плотности.

В математике группа треугольника — это группа, которая может быть представлена геометрически при помощи последовательных отражений относительно сторон треугольника. Треугольником может служить обычный евклидов треугольник, треугольник на сфере или гиперболический треугольник. Любая группа треугольника является группой симметрии паркета конгруэнтных треугольников в двумерном пространстве, на сфере или на плоскости Лобачевского.

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

Модель Пуанкаре в верхней полуплоскости — это верхняя половина плоскости $\text{[math]}$ , обозначаемая ниже как H, вместе с метрикой, которая делает её моделью двумерной гиперболической геометрии.

Фуксова группа — дискретная подгруппа группы PSL(2,R). Группа $\text{[math]}$ может рассматриваться как группа движений гиперболической плоскости, или конформные отображения единичного диска, или конформные отображения верхней полуплоскости. Соответственно, фуксову группу можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. В других трактовках фуксова группа определяется как группа с конечным числом генераторов, либо как подгруппа $\text{[math]}$ , содержащая сохраняющие ориентацию элементы. Также приемлемо определение фуксовой группы, как клейновой, которая сопряжена с подгруппой группы $\text{[math]}$ .

Комплекс Вьеториса — Рипса, называемый также комплексом Вьеториса или Комплексом Рипса — это способ образования топологического пространства из расстояний в множестве точек. Это абстрактный симплициальный комплекс, который может быть определён из любого метрического пространства M и расстояния $\text{[math]}$ путём образования симплекса для любого конечного множества точек, которое имеет диаметр, не превосходящий $\text{[math]}$ . То есть, это семейство конечных подмножеств метрического пространства M, в котором мы понимаем подмножество из k точек как (k − 1)-мерный симплекс (ребро для двух точек, треугольник для трёх, тетраэдр для четырёх и т.д.). Если же конечное множество S обладает свойством, что расстояние между любой парой точек в S не превосходит $\text{[math]}$ , то мы включаем S в качестве симплекса в комплекс.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.