Минимальность (динамические системы)

В теории динамических систем, динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

Определения

Динамическая система $(X,T)$ называется минимальной, если для любого замкнутого

A\subset X,\quad T(A)=A

либо $A$ пусто, либо совпадает со всем $X$ .

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна.

Также, инвариантное подмножество $Y\subset X,\,Y\neq \emptyset$ фазового пространства системы $(X,T)$ называется минимальным множеством, если ограничение $(Y,T|_{Y})$ системы на него минимально.

Свойства

Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка-Эрмана).

Примеры

Иррациональный поворот минимален.
Сдвиг на постоянный вектор на торе $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$ минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над $\mathbb {Q}$ .
Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).

Литература

Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 42. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.

Похожие исследовательские статьи

Группой Ли над полем $\text{[math]}$ называется группа $\text{[math]}$ , снабжённая структурой дифференцируемого (гладкого) многообразия над $\text{[math]}$ , причём отображения $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ , определённые так:

\text{[math]}

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Гомеоморфизм</span>

Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Ко́мпле́ксная пло́скость — геометрическое представление множества комплексных чисел $\text{[math]}$ .

Аттра́ктор — компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка, периодическая траектория, или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри.

Ориента́ция — обобщение и формализация понятий направления обхода и направления на прямой на более сложные геометрические объекты, многообразия, векторные расслоения и так далее.

В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения $\text{[math]}$ итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся с чистых поворотов.

В теории динамических систем, пример Данжуа — пример $\text{[math]}$ -диффеоморфизма окружности с иррациональным числом вращения, имеющего канторово инвариантное множество. М. Эрманом были затем построены примеры такого диффеоморфизма в классе гладкости $\text{[math]}$ для любого $\text{[math]}$ . Эта гладкость не может быть далее увеличена: для диффеоморфизмов с липшицевой производной имеет место теорема Данжуа, утверждающая, что такой диффеоморфизм с иррациональным числом вращения сопряжён иррациональному повороту.

Пример Фюрстенберга — пример гладкой динамической системы на двумерном торе, которая минимальна, но не эргодична относительно меры Лебега.

В теории динамических систем, динамическая система $\text{[math]}$ называется (топологически) транзитивной, если у неё есть всюду плотная в фазовом пространстве орбита:

\text{[math]}

Решётка — набор векторов евклидова пространства $\text{[math]}$ , образующий дискретную группу по сложению.

Теорема Дарбу — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии $\text{[math]}$ , у любой точки в $\text{[math]}$ существует открытая окрестность и локальные координаты $\text{[math]}$ в ней, в которых симплектическая форма $\text{[math]}$ принимает канонический вид $\text{[math]}$ .

Коприсоединённое представление $\text{[math]}$ группы Ли $\text{[math]}$ — это представление, сопряжённое к присоединённому. Если $\text{[math]}$ — алгебра Ли группы $\text{[math]}$ , соответствующее действие $\text{[math]}$ на пространстве $\text{[math]}$ , сопряжённом к $\text{[math]}$ , называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на $\text{[math]}$ .

K3-поверхность — связная односвязная компактная комплексная поверхность, допускающая нигде не вырожденную голоморфную дифференциальную форму степени два. В алгебраической геометрии, где рассматриваются многообразия над полями иными, нежели комплексные числа, K3-поверхностью называется алгебраическая поверхность с тривиальным каноническим расслоением, не допускающая алгебраических 1-форм.

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых $\text{[math]}$ матриц, которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением $\text{[math]}$ , где $\text{[math]}$ является транспонированной матрицей M.

Теорема Богомолова о разложении описывает структуру кэлеровых многообразий с тривиальным каноническим расслоением. Справку о многообразиях такого типа можно найти в статье «Многообразие Калаби — Яу».

Голоно́ми́я — один из инвариантов связности в расслоении над гладким многообразием, сочетающий свойства кривизны и монодромии, и имеющий важное значение как в геометрии, так и геометризированных областях естествознания, таких как теория относительности и теория струн. Обыкновенно речь идёт о голономии связностей в векторном расслоении, хотя в равной степени имеет смысл говорить о голономии связности в главном расслоении или даже голономии связности Эресманна в локально тривиальном топологическом расслоении.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.