Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.

Конструкция

Предположим

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum a_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dots x_{n}^{i_{n}}

есть многочлен от n переменных. Обозначим через $I$ множество всех мультииндексов $i_{1},\dots ,i_{n}$ таких, что $a_{i_{1},\dots ,i_{n}}\neq 0$ . По определению многочлена $I$ конечно.

Выпуклая оболочка

N_{f}=\mathop {\rm {Conv}} I\subset \mathbb {R} ^{n}

называется многогранником Ньютона многочлена $f$ .

Свойства

Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений $f_{1}=\dots =f_{n}=0$ равно
$n!\cdot V(N_{1},\dots ,N_{n}),$

где

N_{i}

многогранник Ньютона многочлена

f_{i}

V(N_{1},\dots ,N_{n})

— их смешанный объём.^[1]^[2]

Вариации и обобщения

Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.^[3]

Примечания

↑ D. N. Bernstein, "The number of roots of a system of equations", Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 183–185
↑ A. G. Kouchnirenko, "Polyhedres de Newton et nombres de Milnor", Invent. Math. 32 (1976), 1–31
↑ Andrei Okounkov. Brunn–Minkowski inequality for multiplicities // Inventiones mathematicae. — Т. 125, № 3. — С. 405—411.

Литература

Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015:

Похожие исследовательские статьи

Многочле́н — фундаментальное понятие в алгебре и математическом анализе. В простейшем случае многочленом называется функция вещественной или комплексной переменной $\text{[math]}$ следующего вида:

\text{[math]}

, где

\text{[math]}

— фиксированные коэффициенты, причём

\text{[math]}

<span class="mw-page-title-main">Рациональная функция</span> числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение, то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Определитель Вандермонда — выражение вида

\text{[math]}

Симметри́ческий многочле́н — многочлен $\text{[math]}$ от $\text{[math]}$ переменных, не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных $\text{[math]}$ . Так, для многочлена $\text{[math]}$ двух переменных это означает $\text{[math]}$ ; примерами симметрических многочленов двух переменных являются $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ .

Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса и А. Гурвица.

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Деление многочленов — операция деления с остатком в евклидовом кольце многочленов от одной переменной над некоторым полем. Наивный алгоритм, реализующий эту операцию, представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от $\text{[math]}$ переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму $\text{[math]}$ неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем $\text{[math]}$ столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы $\text{[math]}$ .

Алгоритм Берлекэмпа — алгоритм, предназначенный для факторизации унитарных многочленов над конечным полем. Разработан Элвином Берлекэмпом в 1967 году. Может использоваться также для проверки неприводимости многочленов над конечными полями. Основная идея алгоритма заключается в возможности представления исходного многочлена в виде произведения наибольших общих делителей самого многочлена и некоторых многочленов, которые с точностью до свободного члена являются $\text{[math]}$ -разлагающими.

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Алгебраическое многообразие — центральный объект изучения алгебраической геометрии. Классическое определение алгебраического многообразия — множество решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают его различными способами, но стараются сохранить геометрическую интуицию, соответствующую этому определению.

Смешанный объём — числовая характеристика набора из $\text{[math]}$ выпуклых тел в $\text{[math]}$ -мерном евклидовом пространстве.

В математике тождества Ньютона, также известные как формулы Ньютона — Жирара, задают соотношения между двумя типами симметрических многочленов, а именно между элементарными симметрическими многочленами и степенными суммами Ньютона. Для произвольного многочлена P они дают возможность выразить сумму k-х степеней всех корней P через коэффициенты P, без фактического нахождения корней. Эти тождества были открыты Исааком Ньютоном около 1666 года, и возможно, в ранних работах (1629) Альберта Жирара. Они находят применение во многих областях математики, в том числе в теории Галуа, теории инвариантов, теории групп, комбинаторике, а также в других науках, в том числе в общей теории относительности.

Алгоритм Берлекэмпа — Рабина — вероятностный метод нахождения корней многочленов над полем $\text{[math]}$ с полиномиальной сложностью. Метод был описан американским математиком Элвином Берлекэмпом в 1970 году в качестве побочного к алгоритму факторизации многочленов над конечными полями и позже был доработан Михаэлем Рабином для случая произвольных конечных полей. Изначальная версия алгоритма, предложенная Берлекэмпом в 1967 году, не была полиномиальной. Опубликованная в 1970 году на основе результатов Цассенхауза версия алгоритма работала с большими значениями $\text{[math]}$ , в ней заглавный метод использовался в качестве вспомогательного. На момент публикации метод был распространён в профессиональной среде, однако редко встречался в литературе.

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Комбинаторная теорема о нулях — алгебраическая теорема, связывающая коэффициент многочлена при определённом одночлене с его значениями. Теорема даёт нижнюю оценку на размеры комбинаторного параллелепипеда, на котором многочлен не равен тождественно нулю. Эта оценка зависит от степени старшего одночлена по каждой переменной.

Мера Малера $\text{[math]}$ для многочлена $\text{[math]}$ с комплексными коэффициентами определяется как

\text{[math]}

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежа. Если, например, $\text{[math]}$ , функция может быть симметрической на всех переменных или парах $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ или $\text{[math]}$ . Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций $\text{[math]}$ , формально содержащему бесконечное число переменных.

Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта градуированной коммутативной алгебры, конечно порождённой над полем — это три тесно связанных понятия, которые позволяют измерить рост размерности однородных компонент алгебры.

Лемма Шварца — Зиппеля — результат, широко используемый в проверке равенства многочленов, то есть, в задаче проверки некоторого многочлена многих переменных на тождественное равенство нулю. Лемма была независимо открыта Джеком Шварцем, Ричардом Зиппелем, а также Ричардом Де Милло и Ричардом Липтоном, хотя версия Де Милло и Липтона появилась на год раньше результата Шварца и Зиппеля. Версия леммы для конечных полей было доказана Ойстином Оре в 1922 году.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.