Многодольный граф

k-дольный граф — граф, множество вершин которого можно разбить на k независимых множеств (долей). Эквивалентно, это граф, который можно раскрасить с помощью k цветов так, что концы любого выбранного ребра будут окрашены в разные цвета. При k = 2 k-дольный граф называется двудольным^[1].

Распознавание двудольных графов может быть выполнено за полиномиальное время, но для любого k > 2 задача определения, является ли данный неокрашенный граф k-дольным, становится NP-полной^[2]. Впрочем, в некоторых приложениях теории графов k-дольный граф может быть задан на входе уже раскрашенным; это может случиться, когда множества вершин графа соответствуют разным типам объектов. Например, фолксономии математически моделировались трёхдольными графами, в которых три множества вершин соответствуют пользователям системы, ресурсам, которые подлежат пометке тегами, и собственно тегам^[3]

Полный k-дольный граф — это k-дольный граф, такой, что любые две вершины, входящие в разные доли, смежны^[1]. Полный k-дольный граф может быть описан нотацией

K_{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}},

где $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{k}$ — числа вершин в долях графа. Например, $K_{2,2,2}$ — полный трёхдольный граф правильного октаэдра, состоящий из трёх независимых множеств, каждое из которых включает в себя две противоположные вершины октаэдра. Полный многодольный граф — это граф, который является полным k-дольным для некоторого k^[4].

Граф Турана — полный многодольный граф, мощности любых двух доль которого отличаются не более чем на 1. Полные многодольные графы — частный случай кографов.

Примечания

↑ ¹ ² Лекции по теории графов, 1990, с. 11.
↑ Computers and Intractability, 1979.
↑ Hotho, Andreas; Jäschke, Robert; Schmitz, Christoph; Stumme, Gerd (2006), "FolkRank : A Ranking Algorithm for Folksonomies", LWA 2006: Lernen - Wissensentdeckung - Adaptivität, Hildesheim, October 9th-11th 2006, pp. 111—114
↑ Chromatic Graph Theory, 2008, p. 41.

Литература

В. А. Емеличев, О. И. Мельников, В. И. Сарванов, Р. И. Тышкевич. Лекции по теории графов. — М.: Наука, Физматлит, 1990. — 384 с. — ISBN 5-02-013992-0.
Gary Chartrand, Ping Zhang. Chromatic Graph Theory. — CRC Press, 2008. — ISBN 9781584888017.
Michael R. Garey, David S. Johnson. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. — W. H. Freeman, 1979. — ISBN 0-7167-1045-5.

Похожие исследовательские статьи

Тео́рия гра́фов — раздел дискретной математики, изучающий графы, одна из ветвей топологии. В самом общем смысле граф — это множество точек, которые соединяются множеством линий. Теория графов включена в учебные программы для начинающих математиков, поскольку:

как и геометрия, обладает наглядностью;
как и теория чисел, проста в объяснении и имеет сложные нерешённые задачи;
не имеет громоздкого математического аппарата ;
имеет выраженный прикладной характер.

Раскраска графа — теоретико-графовая конструкция, частный случай разметки графа. При раскраске элементам графа ставятся в соответствие метки с учётом определённых ограничений; эти метки традиционно называются «цветами». В простейшем случае такой способ окраски вершин графа, при котором любым двум смежным вершинам соответствуют разные цвета, называется раскраской вершин. Аналогично раскраска рёбер присваивает цвет каждому ребру так, чтобы любые два смежных ребра имели разные цвета. Наконец, раскраска областей планарного графа назначает цвет каждой области, так, что каждые две области, имеющие общую границу, не могут иметь одинаковый цвет.

Зада́ча о незави́симом мно́жестве относится к классу NP-полных задач в области теории графов. Эквивалентна задаче о клике.

<span class="mw-page-title-main">Двудольный граф</span> граф, вершины которого образуют два множества, внутри которых нет рёбер

Двудо́льный граф или бигра́ф в теории графов — это граф, вершины которого можно разбить на две части так, что каждое ребро соединяет вершину из одной части с вершиной другой части. То есть, между вершинами одной и той же части рёбра отсутствуют.

В теории графов паросочетание, или независимое множество рёбер в графе, — это набор попарно несмежных рёбер.

Полный двудольный граф (биклика) — специальный вид двудольного графа, у которого любая вершина первой доли соединена со всеми вершинами второй доли вершин.

Рёберная раскраска — назначение «цветов» рёбрам графа таким образом, что никакие два смежных ребра не имеют один и тот же цвет. Рёберная раскраска — это один из видов различных типов раскраски графов. Задача рёберной раскраски задаётся вопросом, можно ли раскрасить рёбра заданного графа максимум в $\text{[math]}$ различных цветов для заданного значения $\text{[math]}$ или для минимального возможного числа цветов. Минимальное требуемое число цветов для раскраски рёбер заданного графа называется хроматическим индексом графа. Например, рёбра графа на иллюстрации можно раскрасить в три цвета, но нельзя раскрасить в два, так что граф имеет хроматический индекс 3.

В теории графов графом без треугольников называется неориентированный граф, в котором никакие три вершины не образуют треугольник из рёбер. Графы без треугольников можно определить также как графы с кликовым числом ≤ 2, графы с обхватом ≥ 4, графы без порождённых 3-циклов, или как локально независимые графы.

<span class="mw-page-title-main">Рёберно k-связный граф</span> граф, который остаётся связным после удаления не более чем k-1 рёбер

Рёберно k-связный граф — граф, который остаётся связным после удаления не более чем $\text{[math]}$ рёбер.

Граф Турана T(n,r) — это граф, образованный разложением n вершин на r подмножеств, с как можно близким размером, и вершины в этом графе соединены ребром, если они принадлежат разным подмножествам. Граф будет иметь $\text{[math]}$ подмножеств размером $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ подмножеств размером $\text{[math]}$ . Таким образом, это полный r-дольный граф

\text{[math]}

В теории графов полная раскраска — это противоположность гармонической раскраске в том смысле, что это раскраска вершин, в которой каждая пара цветов встречается по меньшей мере на одной паре смежных вершин. Эквивалентно, полная раскраска — это минимальная раскраска, в том смысле, что её нельзя преобразовать в правильную раскраску с меньшим числом цветов путём слияния двух цветов. Ахроматическое число ψ(G) графа G — это максимальное число цветов среди всех полных раскрасок графа G.

В теории графов разрезающее циклы множество вершин графа — это множество вершин, удаление которых приводит к разрыву циклов. Другими словами, разрезающее циклы множество вершин содержит по меньшей мере по одной вершине из любого цикла графа. Задача о разрезающем циклы множестве вершин является в теории вычислительной сложности NP-полной задачей. Задача входит в список 21 NP-полных задач Карпа. Задача имеет широкое применение в операционных системах, базах данных и разработке СБИС.

Панциклический граф — ориентированный или неориентированный граф, который содержит циклы всех возможных длин от трёх до числа вершин графа. Панциклические графы являются обобщением гамильтоновых графов, графов, которые имеют циклы максимальной возможной длины.

В теории графов доматическое разбиение графа $\text{[math]}$ — это разбиение множества вершин $\text{[math]}$ на непересекающиеся множества $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,..., $\text{[math]}$ , такие, что каждое множество V_i является доминирующим множеством графа G. Рисунок справа показывает доматическое разбиение графа. На рисунке доминирующее множество $\text{[math]}$ состоит из жёлтых вершин, $\text{[math]}$ состоит из зелёных вершин, а $\text{[math]}$ состоит из синих вершин.

В теории графов и комбинаторной оптимизации двудольная размерность или число бикликового покрытия графа G = (V, E) — это минимальное число биклик (то есть полных двудольных подграфов), необходимых, чтобы покрыть всё рёбра E. Набор биклик, покрывающих все рёбра в G, называется бикликовым покрытием рёбер, или просто бикликовым покрытием. Двудольная размерность графа G часто обозначается символом d(G).

Два графа $\text{[math]}$ и $\text{[math]}$ гомеоморфны, если существует изоморфизм некоторого подразделения графа $\text{[math]}$ и некоторого подразделения графа $\text{[math]}$ . Если рёбра графа понимать как отрезки, соединяющие вершины, то два графа гомеоморфны в контексте теории графов, когда они гомеоморфны в топологическом смысле.

Степень k неориентированного графа G — это другой граф, имеющий тот же самый набор вершин, и две вершины этого графа смежны, если расстояние между этими вершинами в исходном графе G не превышает k. Для указания степени графа используется терминология, аналогичная степеням чисел — G² называется квадратом графа G, G³ называется кубом.

Задача о гамильтоновом пути и задача о гамильтоновом цикле — это задачи определения, существует ли гамильтонов путь или гамильтонов цикл в заданном графе. Обе задачи NP-полны.

Сечение нечётных циклов неориентированного графа — это набор вершин графа, который имеет непустое пресечение с любым нечётным циклом в графе. Удаление вершин сечения нечётных циклов из графа оставляет двудольный граф в качестве порождённого подграфа.

Предписанная раскраска рёбер графа — это вид раскраски графов, в которой комбинируется предписанная раскраска и раскраска ребер.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.