Многообразие Илса — Кёйпера

Многообразием Илса — Кёйпера называется компактификация евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ сферой ${\displaystyle S^{\frac {n}{2}}}$, где n = 2, 4, 8, и 16.

• n = 2: многообразие Илса — Кёйпера диффеоморфно вещественной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$.

Для ${\displaystyle n\geq 4}$ оно является односвязным и имеет когомологическую структуру

• ${\displaystyle n=4}$: комплексной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}}$,
• ${\displaystyle n=8}$: кватернионной проективной плоскости ${\displaystyle \mathbb {H} \mathrm {P} ^{2}}$,
• n = 16: проективной плоскости Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}}$.

Многообразия Илса — Кёйпера играют важную роль в теории Морса и в теории слоений.

• Теорема Илса — Кёйпера.^[1] Пусть ${\displaystyle M}$ связное замкнутое многообразие размерности ${\displaystyle n}$ (не обязательно ориентируемое). Предположим, на ${\displaystyle M}$ существует функция Морса ${\displaystyle f:M\to R}$ класса гладкости ${\displaystyle C^{3}}$, которая имеет ровно три критические точки. Тогда ${\displaystyle n=}$2, 4, 8 или 16 и ${\displaystyle M}$ является многообразием Илса — Кёйпера.

• Теорема:^[2] Пусть ${\displaystyle M^{n}}$ компактное связное многообразие, на котором задано морсовское слоение ${\displaystyle F}$. Предположим, что число ${\displaystyle c}$ центров слоения ${\displaystyle F}$ больше числа седел ${\displaystyle s}$. Тогда существуют ровно две возможности:
  • ${\displaystyle c=s+2}$, в этом случае ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфно сфере ${\displaystyle S^{n}}$,
  • ${\displaystyle c=s+1}$, в этом случае ${\displaystyle M^{n}}$ является многообразием Илса — Кёйпера, причем ${\displaystyle n=2,4,8}$ и ${\displaystyle 16}$.

• Кёйпер, Николас
• Теорема Риба о сфере
• Теория Морса

1. ↑ J. Eells, N. Kuiper, Manifolds which are like projective planes — Pub. I.H.E.S., 14 , 1962, pp. 5–46. [1] Архивная копия от 1 марта 2012 на Wayback Machine
2. ↑ C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, pp. 4065–4073[2]