Многочлены Роджерса

Многочлены Роджерса, называемые также многочленами Роджерса — Аски — Исмаила и непрерывными q-ультрасферическими многочленами, — это семейство ортогональных многочленов, которые ввёл Леонард Джеймс Роджерс^[1]^[2]^[3] в течение работ над тождествами Роджерса — Рамануджана^[англ.]. Они являются q-аналогами ультрасферических многочленов и являются многочленами Макдональда^[англ.] для специального случая A₁ аффинной системы корней^[англ.]^[4].

Аски и Исмаил в 1983^[5] и Гаспер и Рахман в 2004^[6] обсуждали свойства многочленов Роджерса в деталях.

Определение

Многочлены Роджерса можно определить в терминах убывающего символа Похгаммера и базисных гипергеометрических рядов^[англ.]

C_{n}(x;\beta |q)={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}e^{in\theta }{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},\beta ;\beta ^{-1}q^{1-n};q,q\beta ^{-1}e^{-2i\theta })

где x = cos(θ).

Литература

Richard Askey, Mourad E. H. Ismail. A generalization of ultraspherical polynomials // Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán. / Paul Erdős. — Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1983. — С. 55–78. — ISBN 978-3-7643-1288-6.
George Gasper, Mizan Rahman. Basic hypergeometric series. — Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-521-83357-8. — doi:10.2277/0521833574.
Macdonald I. G. Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials. — Cambridge University Press, 2003. — Т. 157. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-0-521-82472-9. — doi:10.1017/CBO9780511542824.
Rogers L. J. On the expansion of some infinite products // Proc. London Math. Soc.. — 1892. — Т. 24, вып. 1. — С. 337–352. — doi:10.1112/plms/s1-24.1.337.
Rogers L. J. Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products // Proc. London Math. Soc.. — 1893. — Т. 25, вып. 1. — С. 318–343. — doi:10.1112/plms/s1-25.1.318.
Rogers L. J. Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products // Proc. London Math. Soc.. — 1894. — Т. 26, вып. 1. — С. 15–32. — doi:10.1112/plms/s1-26.1.15.

Ортогональные многочлены

Похожие исследовательские статьи

Алгебраи́ческое число́ над полем $\text{[math]}$ — элемент алгебраического замыкания поля $\text{[math]}$ , то есть корень многочлена с коэффициентами из $\text{[math]}$ .

Коды Боуза — Чоудхури — Хоквингема, сокращённо БЧХ-коды — в теории кодирования это широкий класс циклических кодов, применяемых для защиты информации от ошибок. Отличается возможностью построения кода с заранее определёнными корректирующими свойствами, а именно, минимальным кодовым расстоянием. Частным случаем БЧХ-кодов является код Рида — Соломона.

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

\text{[math]}

Алгоритм Берлекэмпа — алгоритм, предназначенный для факторизации унитарных многочленов над конечным полем. Разработан Элвином Берлекэмпом в 1967 году. Может использоваться также для проверки неприводимости многочленов над конечными полями. Основная идея алгоритма заключается в возможности представления исходного многочлена в виде произведения наибольших общих делителей самого многочлена и некоторых многочленов, которые с точностью до свободного члена являются $\text{[math]}$ -разлагающими.

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая $\text{[math]}$ и определяемая как бесконечный степенной ряд

\text{[math]}

Интеграл Меллина—Барнса или интеграл Барнса в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом в 1908—1910 годах. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина.

Алгоритм Берлекэмпа — Рабина — вероятностный метод нахождения корней многочленов над полем $\text{[math]}$ с полиномиальной сложностью. Метод был описан американским математиком Элвином Берлекэмпом в 1970 году в качестве побочного к алгоритму факторизации многочленов над конечными полями и позже был доработан Михаэлем Рабином для случая произвольных конечных полей. Изначальная версия алгоритма, предложенная Берлекэмпом в 1967 году, не была полиномиальной. Опубликованная в 1970 году на основе результатов Цассенхауза версия алгоритма работала с большими значениями $\text{[math]}$ , в ней заглавный метод использовался в качестве вспомогательного. На момент публикации метод был распространён в профессиональной среде, однако редко встречался в литературе.

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой, введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Полиэдральный граф — неориентированный граф, образованный из вершин и рёбер выпуклого многогранника, или, в контексте теории графов — вершинно 3-связный планарный граф.

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Крэйгом Трейси и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы.

Многочлен Александера — это инвариант узла, который сопоставляет многочлен с целыми коэффициентами узлу любого типа. Джеймс Александер обнаружил его, первый многочлен узла, в 1923. В 1969 Джон Конвей представил версию этого многочлена, ныне носящую название многочлен Александера — Конвея. Этот многочлен можно вычислить с помощью скейн-соотношения, хотя важность этого не была осознана до открытия полинома Джонса в 1984. Вскоре после доработки Конвеем многочлена Александера стало понятно, что похожее скейн-cоотношение было и в статье Александера для его многочлена.

Мера Малера $\text{[math]}$ для многочлена $\text{[math]}$ с комплексными коэффициентами определяется как

\text{[math]}

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа, которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например, такие важнейшие константы анализа, как $\text{[math]}$ и e, являются трансцендентными, а $\text{[math]}$ не является, поскольку $\text{[math]}$ есть корень многочлена $\text{[math]}$ .

Скрытые уравнения поля — разновидность криптографической системы с открытым ключом, которая является частью многомерной криптографии. Также известна как односторонняя функция с потайным входом HFE. Данная система является обобщением системы Матцумото-Имаи и впервые была представлена Жаком Патарином в 1996 году на конференции Eurocrypt.

Теорема Рота — результат аддитивной комбинаторики, частный случай теоремы Семереди для прогрессий длины 3; утверждает присутствие арифметических прогрессий $\text{[math]}$ в любых достаточно плотных множествах.

Класс Тодда — это некоторая конструкция, которая ныне считается частью теории характеристических классов в алгебраической топологии. Класс Тодда векторного расслоения можно определить посредством теории классов Чженя и они встречаются там, где классы Чженя существуют — в первую очередь в дифференциальной топологии, теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии. Грубо говоря, класс Тодда действует противоположно классу Чженя и относится к нему как конормальное расслоение относится к нормальному расслоению.

Владимир Михайлович Бадков — доктор физико-математических наук, профессор, автор около 100 научных работ. С 1962 года работает в Институте математики и механики УрО РАН: В 1962 и 1963 годах является старшим лаборантом, с 1963 по 1972 год — младший научный сотрудник; с 1972 по 1996 год — старший научный сотрудник, с 1996 года ведущий научный сотрудник. С 1996 года является профессором кафедры математического анализа и теории функций Уральского федерального университета.

Подпись при обучении с ошибками в кольце — один из классов криптосистем с открытым ключом, основанный на задаче обучения с ошибками в кольце, который заменяет используемые алгоритмы подписи RSA и ECDSA. В течение последнего десятилетия проводились активные исследования по созданию криптографических алгоритмов, которые остаются безопасными, даже если у злоумышленника есть ресурсы квантового компьютера. Подпись при обучении с ошибками в кольце относится к числу пост-квантовых подписей с наименьшим открытым ключом и размерами подписи. Использование общей проблемы обучения с ошибками в криптографии было введено Одедом Регевым в 2005 году и послужило источником нескольких криптографических разработок. Основоположники криптографии при обучении с ошибками в кольце, считают, что особенностью этих алгоритмов, основанных на обучении с ошибками, является доказуемое сокращение известных сложных задач. Данная подпись имеет доказуемое сокращение до задачи нахождения кратчайшего вектора в области криптографии на решётках. Это означает, что если можно обнаружить атаку на криптосистему RLWE, то целый класс предполагаемых сложных вычислительных проблем будет иметь решение. Первая подпись на основе RLWE была разработана Вадимом Любашевским и уточнена в 2011 году. Данная статья освещает фундаментальные математические основы RLWE и основана на схеме под названием GLYPH.

<span class="mw-page-title-main">Аски, Ричард</span> американский математик

Ричард Аллен Аски — американский математик, специалист по теории специальных функций, профессор Висконсинского университета в Мадисоне, член Национальной академии наук США (1999).

В математике, функции Джека получаются как проективный предел многочленов Джека, введённых Генри Джеком. Многочлен Джека это однородный, симметрический многочлен который обобщает многочлены Шура и зональные многочлены, и, в свою очередь, обобщён многочленами Хекмана – Опдама и многочленами Макдональда.

Эта страница основана на статье Википедии.
Текст доступен на условиях лицензии CC BY-SA 4.0; могут применяться дополнительные условия.
Изображения, видео и звуки доступны по их собственным лицензиям.