Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы .
Формальное определение
Многочлен Шура, соответствующий разбиению равен[1]
Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены и полные симметрические многочлены :
- , где ,
- , где - сопряжённое к разбиение, а также .
В частности, и .
Связь с представлениями симметрической группы
Многочлен Шура , соответствующий диаграмме Юнга , выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона с коэффициентами, выражающимися через значения характера , соответствующего представления симметрической группы . А именно,
где запись означает, что в классе сопряжённости в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется циклов длины .
Ссылки