Многочлен HOMFLY

Многочлен HOMFLY — инвариант зацепления в форме многочлена двух переменных.

Является одним из самых чувствительных инвариантов зацеплений. В частности, многочлены Джонса и Александера выражаются через HOMFLY подстановками. В то же время HOMFLY вычисляется проще вышеназванных многочленов.

Название HOMFLY объединяет инициалы его авторов: Джима Хоста, Адриана Окняну, Кеннета Миллетта, Питера Дж. Фрейда, У. Б. Р. Ликориша и Дэвида Н. Йеттера.^[1] Иногда многочлен называют HOMFLY-PT, указывая на связанную независимую работу Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.^[2]

HOMFLY зацепления — многочлен двух переменных m и l и определяется скейн-соотношением:

${\displaystyle P({\text{тривиальный узел}})=1,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

где ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ — зацепления, образованные перестройками у одного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

Многочлен HOMFLY зацепления L, которое является разделённым объединением двух зацеплений ${\displaystyle L_{1}}$и ${\displaystyle L_{2}}$, задаётся как

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

• HOMFLY мултипликативен относительно связной суммы узлов:

  ${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})\cdot P(L_{2}).}$

• Если ${\displaystyle K'}$ — отражение зацепления ${\displaystyle K}$, то

  ${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{K'}(\ell ^{-1},m),}$.

  • В частности, многочлен HOMFLY можно использовать для различения двух узлов разной хиральности. Однако существуют хиральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен HOMFLY, например, узлы 9₄₂ и 10₇₁^[3]

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.